Splot funkcji

Z Wikipedii

Spis treści

1 Definicja
- 1.1 Uwagi
- 1.2 Splatanie funkcji jako działanie w L¹
2 Własności splotu
3 Matematyka dyskretna
4 Splot miar
5 Grupy topologiczne
6 Zastosowania
7 Bibliografia
8 Przypisy

Zasugerowano, aby artykuł splot sygnałów zintegrować z tym artykułem lub sekcją. (dyskusja)

Splot funkcji, mnożenie splotowe funkcji – specyficzna funkcja, często wykorzystywana w matematyce i automatyce.

[edytuj] Definicja

Załóżmy, że funkcje $f 1$ i $f 2$ są bezwględnie całkowalne^[1] w przedziale $(-\infty,+\infty)$ . Splotem (dwustronnym) funkcji $f 1$ i $f 2$ w tym przedziale nazywamy funkcję $\varphi$ , określoną wzorem

$\varphi(t)=\int\limits_{-\infty}^\infty f_1(\tau)f_2(t - \tau) d\tau$ .

[edytuj] Uwagi

Funkcja $\varphi$ w powyższym wzorze jest poprawnie określona, jednak może przyjmować wartości nieskończone. Oznacza się ją najczęściej $\varphi=f_1 * f_2$ ^[2]. Zwykle rozważa się operację splatania funkcji określonych na całej prostej, jednak można żądać by funkcje były bezwględnie całkowalne na innych przedziałach, np. w $(0,\infty)$ lub ogólniej, na dowolnych podzbiorach mierzalnych $Ω$ prostej. Założenie bezględnej całkowalności funkcji $f 1, f 2$ na zbiorze $Ω$ oznacza założenie, by funkcje te były elementami przestrzeni $L 1 (Ω)$ . Idąc w tym kierunku, operację splotu można uogólnić na dowolne przestrzenie $L^1(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ - przestrzenie funkcji bezględnie całkowalnych względem dowolnej miary, określonych na pewnej przestrzeni mierzalnej.

[edytuj] Splatanie funkcji jako działanie w L¹

Jeżeli $f_1, f_2 \in L^1(\mathbb{R})$ , to $f_1*f_2 \in L^1(\mathbb{R})$ oraz $\|f_1*f_2\|_1\leqslant \|f_1\|_1\cdot \|f_2\|_1$ , gdzie $\|\cdot\|_1$ oznacza normę w przestrzeni $L^1(\mathbb{R})$ , daną wzorem

$\|f\|_1=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}|f(x)|dx$

dla $f\in L^1(\mathbb{R})$ . Przestrzeń ta, z działaniami dodawania i splatania jest algebrą Banacha bez jedynki. Dla każdego elementu tej przestrzeni jedynka może być jednak aproksymowana, dokładniej jeśli $f\in L^1(\mathbb{R})$ , to istnieje ciąg funkcji ortonormalnych $(e_n)_{n\in \mathbb{N}}$ z tej przestrzeni taki, że

$\lim_{n \to \infty}~\|e_n * f - f\|_1 = \lim_{n\to\infty}~\|f * e_n - f\|_1 = 0$

[edytuj] Własności splotu

W tym paragrafie będziemy zakładać bezględną całkowalność funkcji $f 1$ i $f 2$ w każdym przedziale $(t 1, t 2)$ dla $0\leqslant t_1 < t_2<+\infty$ . Splot określomy jako funkcję $\varphi:=f_1*f_2$ zmiennej $t\geqslant 0$ (por. powyższą uwagę) daną wzorem

$\varphi(t)=\int\limits_{0}^t f_1(\tau)f_2(t - \tau) d\tau$ .

Splot jest funkcją ciągłą prawie wszędzie w przedziale $(0,\infty)$ . Można jednak podać warunek na ciągłość splotu wszędzie:

Jeśli chociaż jedna funkcja $f 1, f 2$ jest ograniczona w każdym przedziale $[0, T]$ dla $T > 0$ , to splot $f 1 * f 2$ istnieje i jest ciągły dla każdego $t\geqslant 0$ oraz

$\lim_{t\to 0^+}(f_1*f_2)(t)=0$ .

Wynika stąd w szczególności, że splot jest ciągły gdy chociaż jedna z funkcji $f 1, f 2$ jest ciągła. Prawdziwe jest także, następujące twierdzenie Titchmarsha, mówiące, że splot jest funkcją zerową wtedy i tylko wtedy, gdy chociaż jedna z funkcji $f 1, f 2$ jest funkcją zerową prawie wszędzie. Twierdzenie to nie jest prawdziwe dla splotów w $(-\infty, \infty)$ .

[edytuj] Własności algebraiczne

Załóżmy dodatkowo, że funkcja $f 3$ spełnia założenia, które spełniają funkcje $f 1, f 2$ oraz $\alpha \in \mathbb{R}$ . Splot ma wówczas następujące własności

przemienność

$f_1 * f_2 = f_2 * f_1\;$ ^[3]

łączność

$\left(f_1 * f_2\right)*f_3 = f_1 * \left(f_2 * f_3\right)$ ,

rozdzielność względem dodawania

$f_1 * \left(f_2 + f_3\right) = f_1 * f_2 + f_1 * f_3$ .

łącznosć względem mnożenia przez skalar

$\alpha \left(f_1*f_2\right) = \left(\alpha f_1\right)*f_2 = f_1*\left(\alpha f_2\right)$ .

Zbiór funkcji ciągłych, o wartościach zespolonych lub rzeczywistych, określonych na przedziale $[0,\infty)$ z działaniami dodawania i splatania tworzy pierścień przemienny bez jedynki. Pierścień ten nazywany jest pierścieniem Mikusińskiego.

[edytuj] Całka Duhamela

W wielu zagadnieniach ważne staje się różniczkowanie splotu:

$\frac{d}{dt}(f_1*f_2)(t)=\frac{d}{dt}\int\limits_{0}^t f_1(\tau)f_2(t - \tau) d\tau$ .

Pochodna splotu zwana jest całką Duhamela. Jeśli $f 1$ jest dla $t\geqslant 0$ funkcją ciągłą, a $f 2$ dla $t > 0$ funkcją różniczkowalną, to zgodnie z twierdzeniem Leibniza o różniczkowaniu całki, jako funkcji parametru mamy

$\frac{d}{dt}(f_1*f_2)(t)=\frac{d}{dt}\int\limits_{0}^t f_1(\tau)f_2(t - \tau) d\tau=f_1(t)f_2(0^+)+\int\limits_{0}^t f_1(\tau)f_2^\prime(t - \tau) d\tau=f_1(t)f_2(0^+)+(f_1*f_2^\prime)(t)$ .

Jeśli obie funkcje $f 1, f 2$ mają ciągłe pochodne dla $t > 0$ , to oczywiście

$\frac{d}{dt}(f_1*f_2)(t)=f_1(0^+)f_2(t)+(f_1^\prime *f_2)(t)$

[edytuj] Splot a transformata Laplace'a - Twierdzenie Borela

Jeśli funkcje $f 1, f 2$ są bezwzględnie transformowalne (w sensie Laplace'a) oraz chociaż jedna z nich jest ograniczona w każdym przedziale $[0, T]$ dla $T > 0$ , to

$\mathcal{L}[f_1*f_2]=\mathcal{L}[f_1]\cdot \mathcal{L}[f_2]$ .

Powyższe twierdzenie nazywane jest często twierdzeniem Borela o splocie. Założenie ograniczoności przynajmniej jednej z funkcji $f 1, f 2$ można zastąpić innym, gwarantującym istnienie splotu $f 1 * f 2$ dla każdego $t\geqslant 0$ . W szczególności, twierdzenie jest prawdziwe, gdy przynajmniej jedna z tych funkcji jest ciągła.

[edytuj] Matematyka dyskretna

W matematyce dyskretnej splot funkcji przyjmuje postać sumy szeregu (skończonego bądź nie):

(f * g)(m) =	∑	f(n)g(m − n)
	n

Działanie splotu definiuje się analogicznie dla ciągów skończonych - nieistniejące wyrazy są przy tym traktowane jak wyrazy zerowe.

Tak na przykład:

$\langle a_1,a_2,\cdots,a_n\rangle \ast \langle b_1, b_2,\cdots, b_m\rangle =\langle 0,a_1\cdot b_1,a_1\cdot b_2+a_2\cdot b_1,\ldots\rangle$

Wzór na i-ty wyraz krotki ma więc postać:

$c_i=\sum_{k \in \mathbb{N}} \psi(a_k)\cdot \psi(a_{i-k})$

gdzie funkcja $\psi\colon \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{N}\cup \{0\}$ jest określona dla ciągu $\langle d_1,d_2,\cdots d_l \rangle$ następująco

$\psi(d_i) = \begin{cases} d_i & \text{dla }i \in\{1,\ldots, l\} \\ 0 & \text{w innych wypadkach } \end{cases}$

[edytuj] Splot miar

Naturalny odpowiednik splotu funkcji liczbowych definiuje się dla miar borelowskich. Dokładniej, jeśli $μ,ν$ są miarami borelowskimi na prostej, to funkcję

$(\mu * \nu )(B)= \int\limits_\mathbb{R} \mu(B-y)\nu(dy)$

nazywamy splotem miar $μ$ i $ν$ .

Okazuje się, że jeżeli $ξ$ i $η$ są niezależnymi zmiennymi losowymi na pewnej przestrzeni probabilistycznej o rozkładach odpowiednio $μ$ i $ν$ , to $μ * ν$ jest rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej $ξ + η$ .

Jeżeli dodatkowo, jedna z tych zmiennych ma rozkład ciągły - np. funkcja $g$ jest gęstością zmiennej $ξ$ to zmienna $ξ + η$ ma rozkład ciągły o gęstości

$(g*\mu)(t):=\int\limits_\mathbb{R}g(t-x)\mu(dx)$ ,

którą nazywamy splotem gęstości z miarą (w tym wypadku probabilistyczną).

[edytuj] Grupy topologiczne

Niech $G$ będzie zwartą grupą topologiczną, zaś $f$ i $g$ funkcjami (rzeczywistymi lub zespolonymi) na niej określonymi, całkowalnymi w sensie Lebesgue'a względem miary Haara $μ$ określonej na $G$ .

Splotem funkcji $f$ i $g$ na grupie topologicznej $G$ nazywamy funkcję

$(f * g)(x) = \int\limits_G f(y)g(xy^{-1}) d\mu(y)$

[edytuj] Zastosowania

Splatanie funkcji sygnałów stosuje się bardzo często przy cyfrowym przetwarzaniu sygnałów, operacja splotu po stronie czasowej odpowiada mnożeniu widm po stronie częstotliwości.

[edytuj] Bibliografia

Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy, t.2. Warszawa: PWN, 1966.
Bolesław Gleichgewicht: Elementy algebry abstrakcyjnej. Warszawa: PZWS, 1966.
Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: SCRIPT, 2004, s. 103.
Jerzy Osiowski: Zarys rachunku operatorowego. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1965.

Przypisy

↑ Dla wygody, będziemy zakładaść bezwględną całkowalność funkcji względem miary Lebesgue'a na prostej. Bezwględna całkowalność funkcji $\scriptstyle{f}$ na pewnym zbiorze oznacza, iż funkcje - $\scriptstyle{f}$ i $\scriptstyle{|f|}$ są jednocześnie całkowalne na tym zbiorze. Czytelnik nie znający podstaw matematycznych teorii całki Lebesgue'a może patrzeć na założenie bezwględnej całkowalności tych funkcji jak na założenie zbieżności całek niewłaściwych Riemanna tych funkcji oraz ich modułów na całej prostej.
↑ Zob. asterysk
↑ by to sprawdzić, wystarczy zastosować podstawienie $\scriptstyle{u=t-\tau}$ .

Kategorie: Artykuły do zintegrowania • Analiza funkcjonalna

Splot funkcji

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Definicja

[edytuj] Uwagi

[edytuj] Splatanie funkcji jako działanie w L¹

[edytuj] Własności splotu

[edytuj] Własności algebraiczne

[edytuj] Całka Duhamela

[edytuj] Splot a transformata Laplace'a - Twierdzenie Borela

[edytuj] Matematyka dyskretna

[edytuj] Splot miar

[edytuj] Grupy topologiczne

[edytuj] Zastosowania

[edytuj] Bibliografia

Przypisy

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach

Splot funkcji

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Definicja

[edytuj] Uwagi

[edytuj] Splatanie funkcji jako działanie w L1

[edytuj] Własności splotu

[edytuj] Własności algebraiczne

[edytuj] Całka Duhamela

[edytuj] Splot a transformata Laplace'a - Twierdzenie Borela

[edytuj] Matematyka dyskretna

[edytuj] Splot miar

[edytuj] Grupy topologiczne

[edytuj] Zastosowania

[edytuj] Bibliografia

Przypisy

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach

[edytuj] Splatanie funkcji jako działanie w L¹