Convolutie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Convolutie (samenvouwing) is een wiskundige bewerking, aangeduid door *, op twee functies met een nieuwe functie, de convolutie van beide, als resultaat. Synoniem voor convolutie is Duhamel-integraal of -som, Faltung-integraal of -som (Duits: vouwen).

Aan de hand van een voorbeeld is goed te begrijpen wat een convolutie betekent.

Inhoud

1 Voorbeeld
2 Definities
3 Eigenschappen
4 Toepassingen
- 4.1 Regeltechniek
- 4.2 Kansrekening
5 Veralgemeningen
- 5.1 Distributies
- 5.2 Lie-groepen

[bewerk] Voorbeeld

Op een druk kruispunt gebeuren elke week wel een of meer ongelukken. Het aantal ongelukken in de komende twee weken is de som van het aantal ongelukken van komende week en van de week daarna. Als de komende twee weken 5 ongelukken zullen gebeuren, kan dat de som zijn van 0 volgende week en 5 de week daarna, of 1 komende week en 4 daarna, of 2+3, 3+2, 4+1 of 5+0. Als ik de kans wil bepalen dat de volgende twee weken 5 ongelukken zullen gebeuren, moet ik de kansen op de genoemde mogelijkheden bij elkaar optellen. Die kans is de convolutie van de kansen van de komende week en van de week daarna.

[bewerk] Definities

Laat u en v twee rijen getallen zijn, geïndexeerd door gehele getallen. De convolutie van u en v, genoteerd u*v, is een nieuwe getallenrij waarvan de algemene term gegeven wordt door

$(u*v) (k) = \sum_{i=-\infty}^{\infty} u(i)v(k-i)$

op voorwaarde dat de reekssom absoluut convergeert.

Laat u en v twee meetbare functies zijn op de reële getallen. De convolutie van u en v is een nieuwe functie u*v, met als voorschrift

$(u*v) (t) = \int_{-\infty}^{\infty} u(s)v(t-s)\hbox{d}s$

op voorwaarde dat de integraal bestaat in de absoluut convergente zin van Lebesgue.

Deze bewerking kan als een voortschrijdend gewogen gemiddelde van u gezien worden, met v (of eigenlijk: de spiegeling van v) als rij gewichten.

[bewerk] Eigenschappen

[bewerk] Commutativiteit:

$f * g = g * f \,$

[bewerk] Associativiteit:

$f * (g * h) = (f * g) * h \,$

[bewerk] Distributiviteit:

$f * (g + h) = (f * g) + (f * h) \,$

[bewerk] Associativiteit met het scalair vermenigvuldigen:

$a (f * g) = (a f) * g = f * (a g) \,$

, met a een willekeurig complex (reëel) getal.

[bewerk] Afleiden:

$\mathcal{D}(f * g) = \mathcal{D}f * g = f * \mathcal{D}g \,$

, met Df de afgeleide van f (continu geval) of Df(n) = f(n+1) - f(n) (discreet geval)

[bewerk] Fouriertransformatie:

$\mathcal{F}(f * g) = \sqrt{2\pi} \mathcal{F} (f) \cdot \mathcal{F} (g)$

, met F(f) de Fourier-getransformeerde van f.

[bewerk] Toepassingen

[bewerk] Regeltechniek

Convolutie wordt onder meer gebruikt in de systeemtheorie, meer bepaald in de regeltechniek. De functies u en v stellen dan signalen voor. Rijen zijn signalen in discrete tijd, functies met reëel domein zijn signalen in continue tijd.

Een lineair tijdsinvariant systeem S gegeven door de impulsantwoord h, geeft als output x de convolutie van de impulsrespons met het ingangssignaal u:

x = h * u

De convolutie vindt ook toepassing in de kansrekening. De kansdichtheid van de som van twee onderling onafhankelijke continue stochastische variabelen is de convolutie van de beide afzonderlijke dichtheden. Ook voor discrete stochastische variabelen geldt een overeenkomstige eigenschap.

[bewerk] Kansrekening

De som van twee onafhankelijke continue stochastische variabelen is opnieuw continu, en haar dichtheidsfunctie is de convolutie van de twee afzonderlijke dichtheidsfuncties.

1. De stochastische variabelen X en Y zijn onderling onafhankelijk en beide exponentieel verdeeld met parameter λ. De kansdichtheid van de som van beide is voor z > 0:

$f_{X+Y}(z) = \int_0^z f_X(x)f_Y(z-x)dx=\int_0^z \lambda e^{-\lambda x}\lambda e^{-\lambda (z-x)}dx = \lambda^2 z e^{-\lambda z}.$

De som X+Y heeft dus een Erlang-verdeling met parameters λ en 2.

2. De stochastische variabelen X en Y zijn onderling onafhankelijk en beide Poisson-verdeeld met respectievelijke parameters λ en μ. De kansfunctie van de som van beide is voor n = 0, 1, ...:

$P(X+Y=n) = \sum_{k=0}^n P(X=k)P(Y=n-k)=\sum_{k=0}^n \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \frac{\mu^{n-k}}{(n-k)!}e^{-\mu} = \frac{(\lambda+\mu)^n}{n!}e^{-(\lambda+\mu)}.$

De som X+Y heeft dus ook een Poisson-verdeling, maar met parameter λ + μ.

[bewerk] Veralgemeningen

[bewerk] Distributies

Door uitbreiding van het begrip partiële integratie wordt de convolutie gedefinieerd op distributies.

De convolutie van een functie met de dirac-operator verschuift die functie

De convolutie van een signaal f(x) met een verschoven Dirac-impuls $\! \delta(i-i_0)$ is:

$(\delta * v)(k) = \sum_{i=-\infty}^{\infty} \delta(i-i_0)v(k-i)=v(k-i_0)$ , want

δ(i - i 0)

is overal nul, behalve voor

i = i 0

$(\delta * f) (x) = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t-t_0) \cdot f(x-t) \cdot dt=f(x-t_0)$ , want

δ(t - t 0)

is overal nul, behalve voor

t = t 0

, waar geldt dat

δ(t 0) = f (t) = f (t 0)

dus telkens een verschuiving.

[bewerk] Lie-groepen

De natuurlijke thuishaven van de convolutie is die van een Liegroep G met een linksinvariante maat $μ$ , de zogenaamde Haarmaat. We noteren de groepsbewerking multiplicatief. Als u en v Haar-integreerbare functies zijn, dan wordt hun convolutie gedefinieerd door het voorschrift

$\forall g\in G:(u*v)(g)=\int_G u(h)v(g.h^{-1})\ \hbox{d}\mu(h)$

Bovenstaande definities voor de convolutie van rijen of van reële functies zijn hiervan de speciale gevallen voor de optelgroepen der gehele getallen (met de telmaat) respectievelijk de reële getallen (met de Lebesguemaat).

Categorieën: Functionaalanalyse | Signaalanalyse

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.