Markovs ulikhet

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi

I sannsynlighetsteori gir Markovs ulikhet en øvre grense for sannsynligheten av at en ikke-negativ stokastisk variabel er større enn en gitt positiv verdi. Ulikheten er oppkalt etter den russiske matematikeren Andrej Andrejevitsj Markov.

[rediger] Ulikheten

Hvis X er en stokastisk variabel og a > 0, så er

$\textrm{Pr}(|X| \geq a) \leq \frac{\textrm{E}(|X|)}{a}.$

[rediger] Bevis

Hvis A er en hendelse, la I_A være indikatorvariabelen til A. Det vil si at I_A = 1 hvis A skjer, og 0 ellers. Da er

$aI_{(X \geq a)} \leq X.\,$

Derfor er

$\operatorname{E}(aI_{(|X| \geq a)}) \leq \operatorname{E}(|X|).\,$

Merk at den venstre siden av denne ulikheten er det samme som

$a\operatorname{E}(I_{(|X| \geq a)})=a\Pr(|X| \geq a).\,$

Dermed har vi at

$a\Pr(|X| \geq a) \leq \operatorname{E}(|X|),\,$

og siden a > 0, kan vi dividere begge sider med a.

[rediger] Eksempler

Markovs ulikhet brukes til å bevise Tsjebysjevs ulikhet.
Hvis X er en ikke-negativ stokastisk variabel med bare heltallige utfall, noe som ofte forekommer i kombinatorikk, så følger det av Markovs ulikhet at P(X > 0) ≤ E(X), ved å sette a =1.

Kategori: Sannsynlighetsteori

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Markovs ulikhet

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi

[rediger] Ulikheten

[rediger] Bevis

[rediger] Eksempler

Views

Navigasjon

prosjektrelatert

Søk

Andre språk