Exponentiële groei

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Grafiek met 3 curves. Rood lineaire groei, blauw kwadratische groei en groen exponentiële groei

Exponentiële groei is een wiskundige term die aangeeft dat iets groeit of toeneemt evenredig aan de eigen omvang. Iedere grootheid die elk jaar (of elke maand, dag, uur, etc.) met hetzelfde percentage groeit, ondergaat een exponentiële groei. Bijvoorbeeld, als het aantal geboortes per individu (of per echtpaar) in een populatie constant blijft, dan is de groei evenredig met het aantal individuen. De bevolking in een exponentieel groeiende groep groeit dus 3x zo snel als er 6 miljoen personen zijn, dan wanneer er 2 miljoen personen zijn. Ook banktegoeden met een vast rentepercentage vertonen een exponentiële groei (als er tenminste geen af- of bijschrijvingen plaatsvinden).

[bewerk] Verkeerd gebruik

De term exponentiële groei wordt soms verkeerd gebruikt als iemand alleen een snelle groei bedoelt. Exponentieel betekent in dit verband alleen een “relatieve groei” in relatie tot de omvang. De groei hoeft derhalve niet snel te zijn.

Een populatie kan bijvoorbeeld exponentieel groeien maar met een zeer lage “absolute” hoeveelheid.

[bewerk] Wiskundige beschrijving

Als x een grootheid is die exponentieel groeit in de tijd t, dan geldt per definitie dat de groeisnelheid dx/dt voldoet aan de volgende differentiaalvergelijking:

$\!\, \frac{dx}{dt} = k x$

Hierin is k de evenredigheidsconstante, die altijd > 0 dient te zijn. Als k < 0 wordt gesproken van exponentiële afname. Die kan bijvoorbeeld een rol spelen bij de demping van trillingen. Het is bijvoorbeeld ook het geval bij radioactief verval.

De oplossing voor deze vergelijking is de exponentiële functie $\!\, x(t)=x_0 e^{kt}$ . De constante $\!\, x_0$ wordt bepaald door de oorspronkelijk omvang van de populatie.

Op de lange termijn zal een exponentiële groei elke vorm van lineaire groei overschrijden. Dit is ook de basis van de theorie van de overbevolking van het Malthusianisme. Een exponentiële groei zal zelfs sneller gaan dan elke groei volgens een polynoom. In wiskundige termen geldt voor elke waarde van α:

$\lim_{x\rightarrow\infty} {x^\alpha \over Ce^x} =0$

Er bestaan ook groeimodellen die op de lange termijn langzamer zijn dan de exponentiële groei, maar sneller dan de lineaire groei. Ook zijn er groeiscenario’s denkbaar die sneller zijn dan de exponentiële. De lineaire en de exponentiële groeifuncties komen echter in de natuur het meeste voor.

[bewerk] Voorbeelden van exponentiële groei

Investeren. De samengestelde rente over vele jaren kan leiden tot een exponentiële groei van het vermogen.
Biologie
- Bacteriën in een kweekschaal zullen exponentieel groeien, totdat het beschikbare voedsel is uitgeput.
- Een nieuw virus (zoals SARS bijvoorbeeld) zal zich exponentieel uitbreiden, omdat elke persoon een veelvoud van nieuwe personen kan infecteren. Dit gaat door, totdat een groot deel van de populatie is besmet.
- De menselijke bevolking
Natuurkunde
- Een atoomreactie zoals in een kernbom. Elk uranium atoom dat splijt produceert neutronen, die elk worden geabsorbeerd door naburige uranium atomen, die op hun beurt gaan splijten. Dit kan in de hand gehouden worden in een kernreactor door het grootste deel van de neutronen af te vangen.
- Een ongedempte trilling met een constante aandrijvingskracht zal een exponentieel toenemende amplitudo vertonen.
- Laden (en ontladen) van een condensator.
- Opwarmen (of koelen) $T=Ae^{-kt}\,$ waarin T de temperatuur, t de tijd en A and k > 0 constanten.
- Radioactief verval. De hoeveelheid van de radioactieve stof neemt in de tijd af als $A(t)=A_0 e^{-t/\tau}\,$ met τ de vervaltijd.
Computers: De wet van Moore impliceert dat de rekenkracht van processoren een exponentiële groei vertoont.