Relativitas generalis

E Vicipaedia

-2 (dubium) Latinitas huius rei dubia est. Corrige si potes. Vide {{latinitas}}.

Deductio artistica de relativitatis generalis probatione quadam instrumento speculatorio spatiali Cassini facta. Monstrata sunt signalia radiophonica inter Tellurem et instrumentum (unda viridis), quae prope solem tardantur ob flexionem spatii temporisque (lineae caerulae) ibi.

Relativitas Generalis seu theoria relativitatis generalis est theoria physica de vi gravitatis ab Alberto Einstein anno 1915 edita. Haec theoria unit theoriam relativitatis specialis Einsteinianam et theoriam gravitatis Newtonianam, adamussim considerando corporis motum ex perspectiva ubi corporis acceleratio gravitatis causa est effectus flexionis spatio-temporalis.

Einstein, novam theoriam petens, maxime confisus est in Principium Aequivalentiae et in geometria differentialis de superficiebus curvis. Aequatio Einsteniana, quae curvaturam spatio-temporalem ad tensorem $T μν$ energiae-motusque attribuit, patefacit clarissimum constantem cosmologicum $Λ$ , qui sicut vacui energia interpretari potest.

Quamquam theoriae congruit cum multis observationibus terrestialibus, physici periti multum sollicitati sunt ob problemata de valore $Λ$ , deque possibili incongruentia cum observationibus subtilibus expansionis mundi universi, deque incongruentia cum theoria quantica.

[recensere] De limitibus theoriae Newtonianae

Secundum theoriam Newtonianam, omnibus aliis planetis absentibus, circum corpus massivum planeta quaedam eandem ellipsem perfectam (gyrum rubrum) iterum interumque sequitur aeterniter. Alii planetae praesentes efficiunt hanc ellipsem paulatim precessare (gyrum caerulum). Relativitatis generalis causa, autem, precessio ab astronomis theoria Newtoniana praecenta discrepat cum precessione Mercuii anno 1859 observata.

[recensere] Quid Newtonus de sua lege sentiret

Anno 1687 Isaacus Newtonus in libro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica legem mathematicam de gravitatis vi inter corpora deduxit veram, omnia gyra planetarum circum solem adamussim explanans. Lex quam Newtonus deduxit ab legibus Keplerianis fuit:^[1]

$\vec \mathbf{F}_{12} = - G \frac{m_1 m_2}{r^2}\, \mathbf{\hat{r}}_{12}$

ubi

$\vec \mathbf{F}_{12}$ est vis attractus in corpus 1 ob corpus 2,
G est constans gravitatis quod valet vere ac 6.67 × 10^-11 Nm²/kg²,
m₁ et m₂ sunt massae corporum,
r est intervallum inter centra corporum, et
$\mathbf{\hat{r}}_{12} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \frac{\vec \mathbf{r}_1 - \vec \mathbf{r}_2}{\vert \vec \mathbf{r}_1 - \vec \mathbf{r}_2\vert}$ est directio ad corpus 1 a corpore 2.

Newtonus autem ipse hanc legem credidit imperfectam, quod, secundum eam, vires gravitationales sine ulla mora per spatium translatae sunt.^[2]

[recensere] De quanto precessio Mercurii a theoria discrepet

Saecula duo haec theoria Newtoniana classica summa ratio fuit, usque ad annum 1859 cum astronomi patefecerunt discrepantiam inter precessionem perihelii Mercurii observatam et precessionem aequationibus Newtonianis computatam.^[3] Discrepabant, ut tabula infera monstrat, solo circiter 43 arcus secundis rotationis in quoque saeculo. ^[4]

**Causae precessionis perihelii Mercurii observatae a Tellure.**^[4]
Quantitas precessionis praecenta (arcus sec./saec.)	Causa
5025.6	Motus coordinatorum ob precessionem Telluris
531.4	Impulsus gravitationales aliorum planetarum
0.0254	Protuberantia in figura Solis
42.98±0.04	Relativitas generalis
Precessio Universa	Praecenta aut Observata
5600.0±0.2	Praecenta
5599.7±0.1	Observata

Nemo poterat suspicari discrepantiam tam parvulam esse indicium novae theoriae eam Newtonianam surrogaturae!

[recensere] De incongruentia cum principio relativitatis

Nova theoria relativitatis specialis, ab Alberto Einstein anno 1905 prolata, multa experimenta explicavit, sed contraria erat theoriae gravitatis Newtonianae. Secundum relativitatis specialis principia:^[5]

Omnes vires infra lucis celeritatem movendae sunt, sed secundum theoriam Newtonianam vires gravitationales trans distantias inter corpora fiunt sine mora, quae res Newtonum ipsum multum sollicitabat;
Corporis massa a celeritate sua dependet, sed haec dependentia efficit ut magnitudo gravitatis, celeritate tantum mutans, principium relativitatis plene violet.

Quam ob rem Einstein novam theoriam gravitatis mox petiturus erat. Nova theoria relativitatis generalis ambo problemata solvit: omnes vires gravitationales celeritate lucis movent et magnitudo gravitatis tantum corporis celeritate mutat, ut principium relativitatis conservetur. Nova theoria quoque adamussim precessionis perihelii Mercurii discrepantiam explanavit.

[recensere] Principia relativitatis generalis

[recensere] Principium aequivalentiae

Pila solum similiter cadit, et in rucheta accelerata (cui imago ad laevam) et in Tellure (ad dextram).

Einstein, novam theoriam petens, maxime confisus est in Principium Aequivalentiae, quae ad systemata coordinatorum spectat, in forma:

Physicae leges in gravitatis campo esse identicas legibus in systemate coordinatorum accelerato,

quam postea Einstein dicit fuisse felicissimam cogitationem suae vitae.

Einstein vidit quod, secundum hoc principium, cum lucis traiectoria est curva in rucheta accelerata, tam curva necesse est prope corpus massivum. Et, quod in rucheta omnes effectus ob accelerationem per coordinatorum transformationes dantur, possumus expectare omnes effectus prope corpus massivum ob gravitatem per coordinatorum mutationes dari.

Secundum principium relativitatis, non possumus per experimenta localia nostrum motum constantem detegere. Item, secundum principium aequivalentiae, non possumus distinguere inter motum constantem et motum libere cadendi. Ideo, quod libere cadendi status quodam transformationum coordinatorum effectu correspondet, necesse est quod omnes leges physicas sint covariantes sub coordinatorum transformationibus, id est ut legum forma sit immutabilis sub coordinatorum tranformationibus.

[recensere] De tensore metrico gravitate absente

Secundum theoriam relativitatis generalis, materia ipsa natura flectit spatium et tempus, unde est vis gravitatis. Difficilis est animo fictu flexio dimensionum trium, difficilior quattuor, ergo haec imago modo monstrat flexionem duarum.

Einstein, ad theoriam relativitatis generalis conficiendam, usus est theoria geometriae differentialis Bernardi Riemann et Caroli Gauss de superficiebus curvis.

Hac in theoria per tensorem $g μν$ metricum habemus intervallum differentiale quadratum

$ds^2=g_{\mu\nu}\,dx^{\mu}\,dx^{\nu}$

inter dua puncta $x μ$ et $x μ + d x μ$ . Habemus quoque contextu spatio-temporali gravitate absente $d x μ = (d x, d y, d z, c d t)$ et

$g_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&-1 \end{pmatrix}\,$ .

Cum tensor $g μν$ partes seu componentes habet quae a positione temporeque dependent, id est si $g μν = g μν (x μ, t)$ , hoc significat spatium quattuor dimensionum, id est trium directionum ac temporis, deformatum est, sicut in figura supera videri potest.

[recensere] De tensore metrico prope corpus massivum irrotans

Aequationes Einstenianas circum massivum corpus (massa M) irrotans sequentem solutionem habent, quae a Schwarzschild anno 1916 patefacta est,^[6]

$ds^2 = - c^2 \left( 1 - {2Gm \over c^2 r} \right) dt^2 + \left( 1 - {2Gm \over c^2 r} \right)^{-1} dr^2 + r^2 d\Omega^2$ ,

unde $d\Omega^2 = d\theta^2 + \sin^2\theta\; d\phi^2$ est elementus anguli solidi infinitesimalis et coordinatis polaribus $x^{\mu}=(r\, sin\theta\, cos\phi, r\, sin\theta\, sin\phi, r\, sin\theta, ct)\,$ .

Gurges ater apud nubem Megallanicam.

Secundum hanc solutionem corpus quodlibet cuius radius est minor quam radius Schwarzschildianus

$r_s = \frac{2GM}{c^2}$

in gurgitem atrum transformatur.^[7]^[8] Intra regionem radii Schwarzschildiani, tam curvum est continuum spatiotemporale, ut ne lux quidem ex interiore parte exire possit (haec est ratio nominis atri) et omnia quae in gurgitem atrum cadant semper in eo loco perseverabunt.

[recensere] De motu geodaetico

Secundum principium aequivalentiae, omnes leges physicae fundamentales oportet sic scribere, ut eae sub tranformationes coordinatorum immutabiles sint. Non oportet leges fundamentales derivativo ordinario scribere, exempli gratia, quia, ob directiones cardinales mutantes, hic derivativus sub coordinatorum transformationes mutat.^[5] Ne leges mutentur, idoneus ad leges scribendas est derivativus covarians $\nabla_\ell V^m$ vectoris $V m$ cuiusdam in superficie quadam, qui definitur ac

$\nabla_\ell V^m = \frac{\partial V^m}{\partial x^\ell} + \Gamma^m {}_{k\ell} V^k\$ ,

ubi quantitates Christofelae

${\Gamma^\gamma}_{\alpha\beta} = \frac{1}{2} g^{\gamma\delta}(\partial_{\alpha}g_{\beta\delta} + \partial_{\beta}g_{\alpha\delta} - \partial_{\delta}g_{\alpha\beta})$

describunt quo modo directiones cardinales mutant.

Cursus geodaeticus, in physica relativistica, dicitur ille cursus quem particula libere cadens sequitur. Est etiam cursum secundum superficiem quod inter dua puncta intervallum minimum accumulat. Quia principium aequivalentiae dicit liberi cadendi statum esse motui gravitate absente indistinguibilem, speramus 4-velocitas $V^m = \frac {dx^m}{d\tau}$ sit constans secundum cursum et acceleratio covarians $\nabla_\ell V^m = 0$ . Aequivalenter, supponiendo in definitione derivativi covariantis supera, obtinemus

$\frac{d^2x^a}{d \tau^2} + \Gamma^a_{bc}\frac{dx^b}{d \tau} \frac{dx^c}{d \tau} = 0$ ,

quae formula dat corporis accelerationem, etiam integrando cursum geodaeticum, ob curvaturam spatio-temporalem.

[recensere] De curvatura spatio-temporali

In geometria differentiali, curvatura spatio-temporalis per tensores derivatos a tensore $g μν$ metrico quantificatur. Habemus igitur tensorem Riemannianum^[9]

${R^\delta}_{\alpha\beta\gamma} = \partial_{\alpha} {\Gamma^\delta}_{\beta\gamma} - \partial_{\beta} {\Gamma^\delta}_{\alpha\gamma} + {\Gamma^\delta}_{\alpha\varepsilon} {\Gamma^\varepsilon}_{\beta\gamma} - {\Gamma^\delta}_{\beta\varepsilon} {\Gamma^\varepsilon}_{\alpha\gamma}$ ,

Vector, circum limitem clausum transportatus, angulo torquetur

α

in proportione areae inclusae.

Effectus tensori Ricciani in volumine tridimensionali sphaerico.

tensorem Riccianum

$R_{\alpha\gamma}={R^\beta}_{\alpha\beta\gamma}$ ,

et curvaturam scalarem

$R=g^{\alpha\gamma}R_{\alpha\gamma}\,$ .

Tensor Riemannianus fundamentalis dat quanto vector $V μ$ quidam mutat vel torquetur postquam is circum rectangulum infinitesimale $d x ν d x σ$ transportatur, ut vector novus

$V'^\mu = V^\mu + R^\mu_{\nu\sigma\tau} dx^\nu dx^\sigma V^\tau$ .

Idem tensor dat accelerationem $A μ$ corporis 1 relativam positioni corporis 2 in statu libere cadendi

$A^\mu = -R^\mu_{\nu\sigma\tau} V_1^\nu dx^\sigma V_2^\tau$

ubi $V i$ denotat 4-velocitas corporis i et $d x σ$ positionem corporis 2 corpori 1 relativam.

Ex hac accelerationis formula, significationem tensoris Ricciani respectu theoriae relativitatis possumus extrahere. Ad propositum, imaginamus multas particulas statu libere cadendi vel quiescentes, cuius velocitates $V ν$ tempore $t = 0$ sunt identicae, in sphaera voluminis $\mathbb{V}$ infinitesimalis quadam circum corpus 1 sitas. Summando super omnibus positionibus $d x σ$ in sphaera et omnibus directionibus $μ$ , obtinemus^[9]

$\frac{\ddot{\mathbb{V}}}{\mathbb{V}} = -R^\sigma_{\nu\sigma\tau} V^\nu V^\tau=-R_{\nu\tau} V^\nu V^\tau = -R_{44} c^2$

ubi ultimo passo adsumimus particulas quiescentes esse, i.e. $V ν = (0,0,0, c)$ . Possumus igitur intepretare tensorem Riccianum ut voluminis fluxionem, curvaturae spatio-temporalis causa, quae in casu particularum quiescentum formam simplissimam adsumit.

[recensere] De tensore energiae motusque

In physica relativistica tensor energiae motusque $T αβ$ sic definitur ut 4-motus fluxio per aream A in directionem $n β$ correspondat

$\frac{dP_{\alpha}}{dt}= T_{\alpha \beta}\; n^\beta A$

Hac definitione habemus

$T_{\alpha \beta} =\begin{pmatrix} G_{xx} & G_{xy} & G_{xz} & \frac{S_x}{c}\\ G_{yx} & G_{yy} & G_{yz} & \frac{S_y}{c}\\ G_{zx} & G_{zy} & G_{zz} & \frac{S_z}{c}\\ \frac{S_x}{c} & \frac{S_y}{c} & \frac{S_z}{c} & W \\ \end{pmatrix}$

ubi

$W$ est densitas energiae,
$(S x, S y, S z)$ est densitas motus, et
$G i i$ est pressio mechanica in directionem i,
$G i k$ est contentio virium in superficie i in directionem k.

Pro liquore ideali inviscido qui calorem non conducit, possumus scribere

$T_{\alpha \beta} \, = (\rho + {p\over c^2})u_{\alpha}u_{\beta} + pg_{\alpha \beta}$ .

ut gravitate paene absente

$g_{\alpha \beta} \, = \mathrm{diag}(1,1,1, -1)$ ,

et celeritate paene zeri

$u_{\alpha}u_{\beta} \, = \mathrm{diag}(0,0,0,c^2)$ ,

habeamus

$T_{\alpha \beta} = \left( \begin{matrix} p & 0 & 0 & 0 \\ 0 & p & 0 & 0 \\ 0 & 0 & p & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \rho c^2 \\ \end{matrix} \right).$

[recensere] Lex gravitatis Einsteiniana

Secundum aequationem Einsteiniam, si constans cosmologicus esset zerum, continuum spatio-temporale expandere necesse est. Et si expandit, necesse est continuum fuisse olim minus quam hodie--punctum singulare tantum! Mundus noster igitur, potest olim fragore maximo incepere ex puncto singulari.

Secundum theoriam Einsteinianam, massa (sive energia), tensore $T μν$ energiae motusque data, curvaturam spatio-temporalem efficit. Aequatio Einsteniana

$R_{\mu\nu} -\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R - \Lambda g_{\mu\nu}= \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu} \,$ ,

igitur curvaturam spatio-temporalem ad tensorem $T μν$ attribuit, unde $R μν$ est tensor Riccianus, $R$ curvatura scalaris, et $Λ$ clarissimus constans cosmologicus, qui sicut vacui energia interpretari potest.

Ad hanc aequationem, Einstein pervenit modo per multa conata. Sine constante $Λ$ , Einstein mox repperit concentrationem massae energiaeque in mundo universo esse tam parvam, ut secundum suam aequationem continuum spatio-temporale assidue expanderet. Haec expansio autem ei apparuit tam absurda, ut in prima editione suae theoriae Einstein constantem $Λ$ proprosuerit magnitudinem tantum habere ut expansionem adusque consistat. Et postea, cum Edwinus Hubble ex stellarum observationibus legem deduxit,^[10] quae continuum universum sic expandere sicut $\Lambda \approx 0$ dicit, Einstein funditus constantem reliquit, eam maximum erratum suae vitae dicens.^[11]

Hodie observationes astronomicae monstrant $Λ$ non posse excedere 10^-46 km^-2.^[12]

[recensere] De interpretatione legis Einsteinianae

Lex Einsteinana, 16 aequationes differentiales gradus secundi in se continens, est instricatissima legi Newtonianae composita. Quid lex significat?

Memoramus, cum particulae quiescentes quaedam tempore $t = 0$ volumen $\mathbb{V}$ complent, aequationem Riccianam

$\frac{\ddot{\mathbb{V}}}{\mathbb{V}} = -R_{44} c^2$

eorum voluminis fluxionem dare curvaturae causa. Aequationem Einsteinianam per $g μν$ multiplicando, et $Λ = 0$ , $g μν g μν = 4$ , et $g μν R μν = R$ supponendo, statim obtinemus

$R = -\frac{8\pi G}{c^4}T^{\mu}_{\mu} \,$ .

Aequationem igitur Einteinianam possumus rescribere

$R_{\mu\nu}= \frac{8\pi G}{c^4}\left( T_{\mu\nu} -\frac{1}{2}g_{\mu\nu} T^{\alpha}_{\alpha}\right)\,$

unde, supponendo etiam $T^{\alpha}_{\alpha} = P_x+P_y+P_z-W$ et $g_{44}=-1\,$ et adsumendo omnem energiae densitatem $W=\rho c^2\,$ esse ob materiae densitatem $ρ$ , habemus

$\frac{\ddot{\mathbb{V}}}{\mathbb{V}}= -R_{44} c^2 = -4\pi G \left(\rho+ \frac{P_x + P_y + P_z}{c^2}\right) \approx -4\pi G\rho$ ,

ultimo passo quoque adsumendo condicionem $\frac{P_x + P_y + P_z}{c^2} \ll \rho$ , quae fere semper tenet.

Lex Einsteiniana igitur possumus sic dicere: cum manus particularum quiescentum incipit libere cadere, eius volumen incipit decrescere secundum productum voluminis initialis et summae densitatis energiae in centro atque pressionum directiones x, y, et z versus.^[9]

[recensere] Quomodo legem Newtonianam ex Einsteiniana derivare

Quod lex Einsteinana haud modo apparet legi Newtonianae similis, nobis oportet etiam investigare quomodo legem Newtoniana e lege Einsteiniana derivare.

Ex aequatione, quae volumen perditum propter massam terrestrem $\rho \mathbb{V}_0 = M$ dat,

$\frac{\ddot{\mathbb{V}}}{\mathbb{V}}= -4\pi G\rho$ ,

possumus aequationem Newtonianam continuo potiri,^[9] quia, quoniam $\dot{\mathbb{V}} =0$ adsumimus, bis integrando obtinemus, post tempus $δ t$ ,

$\delta \mathbb{V} = -4\pi G\rho\mathbb{V}_0\left( \frac{1}{2}\;\delta t^2 \right)$ .

Etiam, quoniam distantia $r$ radium terrestrem $R$ excedens volumen $\mathbb{V}=\frac{4}{3}\pi r^3$ complectit, simul habemus

$\delta \mathbb{V} = 4\pi r^2 \delta r$ ,

ut, quoniam $\delta r = \frac{1}{2} a\,\delta t^2$ , comparando obtinamus

$a = 2 \frac{\delta r}{\delta t^2} = -\frac{G M}{r^2}$ ,

eam quae erat demonstanda: formulam accelerationis Newtonianam.

[recensere] Status theoriae hodie respectu observationibus

[recensere] Quid stellae pulsantes patefaciant

[recensere] Quid galaxiae patefaciant

[recensere] Quid expansio mundi universi patefaciat

[recensere] Ad theoriam gravitatis quanticam

Quamvis theoria relativitatis generalis accurate phaenomena ad gravitatis vim pertinentia describit, physici coniungere relativitatem generalis cum mechanicae quanticae maxime volunt, quia notum est circa longitudinem planckianam effectus quanticos ob gravitatis vim non ignorandos esse. Theoria Chordarum est nostri theoria temporis quae has duas claras theorias optime coniungat, sed non plane confecta est atque nondum experimentorum confirmationem habet. In hac descriptione vis gravitatis ex particularum minimarum gravitonorum permutationibus nascitur, quemadmodum theoria camporum quanticorum corporum attractiones describere solet, e.g., attractio electrica corporum onus electricum habentium in se mutuo ex photonorum permutationibus fiat.

Quamquam ab experimentis multis constantem cosmologicam esse minimam comprobatur, theoria camporum quanticorum illam esse permagnam praevidet, plus quam $10100$ magnitudinis ab experimentis mensuratae. Nunquam aliqua theoria tam longe ab experimentis veritatibus absit et usque ad hodie hoc constantis cosmologicae problema non solutum est. Hoc autem problema supersymmetria minuit (discrepantia est circa $1050$ post supersymmetriae fracturam) sed id non solvit.

[recensere] Fontes

Wald, Robert M. (1984). General Relativity. Chicago: University of Chicago Press. ISBN 0-226-87033-2.
Weinberg, Steven (1972). Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-92567-5
Praecepta de relativitate generali comparata a Ioanne Baez, Ph.D., professore physicae.
P. A. M. Dirac, General Theory of Relativity, Princeton: Princeton University Press, 1975.
A. Einstein, H. A. Lorentz, H. Weyl, H. Minkowski, (Trans. W. Perrett and G. G. Jeffery) The Principle of Relativity, Toronto: Dover Publications, Inc., 1952.
A. Einstein, The Meaning of Relativity, Including the Relativistic Theory of the Non-Symmetric Field, Princeton: Princeton University Press, 1922.

[recensere] Notae

↑ Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Physics for Scientists and Engineers, 6th ed., Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7.
↑ Scholium Generale: Philosophia Naturalis Principia Mathematica, Secunda Editio, anno 1713
↑ Urbain Le Verrier "Theorie du Mouvement de Mercure" (195 pages, 17.6 MB)
↑ ^4.0 ^4.1 Anna M. Nobili & Clifford M. Will, The real value of Mercury's perihelion advance, Nature 320, 39 (1986); http://math.ucr.edu/home/baez/physics/Relativity/GR/mercury_orbit.html
↑ ^5.0 ^5.1 A. Einstein, The Meaning of Relativity, Including the Relativistic Theory of the Non-Symmetric Field, Princeton: Princeton University Press, 1922
↑ K. Schwarzschild, "Uber das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie", Sitzungsberichte der Deutschen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Klasse fur Mathematik, Physik, und Technik, 189 (1916); K. Schwarzschild, "Uber das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flussigkeit nach der Einsteinschen Theorie", Sitzungsberichte der Deutschen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Klasse fur Mathematik, Physik, und Technikm 424 (1916).
↑ Anglice: black hole
↑ "On Massive Neutron Cores", J. R. Oppenheimer and G. M. Volkoff, Physical Review 55, 374 (1939).
↑ ^9.0 ^9.1 ^9.2 ^9.3 ``The Meaning of Einstein’s Equation, John C. Baez and Emory F. Bunn†, (2006).
↑ A relation between distance and radial velocity among extra-galactic nebulae, E. Hubble, Proceedings of the National Academy of Sciences 15 (1929).
↑ G. Gamow, My World Line—An Informal Autobiography, Viking Press, New York (1970), p. 44. I thank Lawrence Krauss for this reference.; Vide etiam: http://www.physicstoday.org/vol-58/iss-11/p31.html
↑ Christopher S. Kochanek (August 1996). ""Is There a Cosmological Constant?"". The Astrophysical Journal 466 (2): 638-659.

[recensere] Vide etiam

Categoria: Physica

Categoriae celatae: Latinitas -2 (dubium) | L -2 | 1000 paginae

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.