積分方程式

積分方程式（せきぶんほうていしき、Integral equation）は、数学において、未知の関数が積分の中に現れるような方程式である。積分方程式と微分方程式には密接な関係があり、そのどちらでも問題を定式化することができる場合もある。

積分方程式は次の3種類の分類方法がある。この分類によれば、8種類の積分方程式が存在する。

4種類の積分方程式（同次・非同次方程式をまとめた）の例として以下のように書ける。ただし φ は未知の関数、f は既知の関数、K は既知の2変数関数で積分核と呼ばれる。λ は未知の係数で、線型代数学における固有値と同じ役割をする。

第一種フレドホルム積分方程式：

$f(x) = \int_a^b K(x,t)\,\phi(t)\,dt$

第二種フレドホルム積分方程式：

$\phi(x) = f(x) + \lambda \int_a^b K(x,t)\,\phi(t)\,dt$

第一種ヴォルテラ積分方程式：

$f(x) = \int_a^x K(x,t)\,\phi(t)\,dt$

第二種ヴォルテラ積分方程式：

$\phi(x) = f(x) + \lambda \int_a^x K(x,t)\,\phi(t)\,dt$

積分方程式は多くの応用において重要である。積分方程式に出会う問題としては、弦や膜、棒における放射エネルギー変換や振動などが挙げられる。振動問題は微分方程式によって解かれることもある。

[編集] 参考文献