様相論理学

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様相論理学（ようそうろんりがく）は古典的な論理学では扱わない「～でなければならない」「～でありうる」「～べきである」といった可能性や必然性に関わる命題を扱う論理学である。

様相論理では一般に、古典論理に次のふたつの演算子が追加される。 $\Box$ は必然性演算子と呼ばれ、「～は必然的である」ことを意味する。 $\Diamond$ は可能性演算子と呼ばれ、「～は可能である」ことを示す。

様相論理は、部分の真理値からは全体の真理値が決定されない内包論理の一種と見ることができる。

[編集] 真理論と認識論

様相論理は真理論的（形而上学的、論理的）様相の文脈で語られることが最も多い。この様相においては「～は必然的である」、「～は可能である」といった言明が扱われるが、これは認識論的様相と混同されやすい。

例えば「雪男は存在しているはずがない」という主張と、「雪男が存在することは可能である」という主張を矛盾無く行うことが可能である。この場合、前者は認識論的様相であり、「（これまでの情報からして）雪男が実際に存在するとは考えられない」という主張とみなしうる。一方、後者は真理論的様相であり「（実際には存在しないのだが）雪男が存在することは可能である」という主張であると解釈することができる。

あるいは、「ゴールドバッハ予想は正しいかもしれないし、正しくないかもしれない」という言明も認識論的である。これは現時点の知識では正しいかどうか分からないということであり、仮にゴールドバッハ予想の証明が存在し、その方法に気付いていないだけだとすれば、真理論的には「正しくないかもしれない」という主張は誤りであることになる。

これ以外の様相としては、時間的なものがある。例えば、「明日雨が降るかどうかは決まっていない」のに対し、「昨日雨が降ったかどうかは決まっている」と考えられる。このようなナイーヴな時間観には同意しない哲学者も多いが、その構造は様相論理によって把握することができる。

さらに「～べきではない」「～してもよい」といった義務に関わる命題も様相論理によって扱うことができる。直感的にも、「～べきではない」と「～してもよい」の関係は「～は必然的である」と「～は可能である」の関係と極めて類似している。義務表現を扱う様相論理は義務論理と呼ばれる。

[編集] 様相論理の公理系

様相論理には様々な公理系が考えられており、どのような公理系が妥当なのかはそれ自体が論争の的である。二つの様相演算子のあいだにド・モルガンの法則的な関係が成立することは、どの公理系でも共通している。 $\Box$ は必然性演算子、 $\Diamond$ は可能性演算子である。

$\Box p \leftrightarrow \neg \Diamond \neg p$
$\Diamond p \leftrightarrow \neg \Box \neg p$

即ち、「必然的に真」は「偽である可能性がない」と同等であり、「真である可能性がある」は「必然的に偽であるわけではない」と同等である。

しかしながら、真と認めるべきかどうか直感的に明らかでない論理式も多く作ることができる。例えば「必然的に真ならば必然的に「必然的に真」である」と言えるのかどうか、即ち $\Box p \rightarrow \Box \Box p$ が成り立つのかどうかははっきりしない。こういった定理を認めるか否かによって様々な公理系が生まれる。

必然化規則を満たす公理系(Normalな公理系)の中で、最も「小さな」公理系として知られているのはクリプキによるKという公理系であり、これは古典的な命題論理に以下の二つを加えたものである。

必然化規則 : pがKで成り立つならば、 $\Box p$ も成り立つ。
公理K : $\Box (p \rightarrow q) \rightarrow (\Box p \rightarrow \Box q)$

ここで可能性演算子は定義 $\Diamond p := \neg \Box \neg p$ によって導入される。

これに次の公理「必然的に真ならば、真である」を加えた体系はTと呼ばれる。

$\Box p \rightarrow p$

現在もっともよく用いられる公理系はS5と呼ばれるものであり、これはTに次の公理を加えることで得られる。

$\Diamond p \rightarrow \Box \Diamond p$

クリプキはこのS5に非常に単純な意味論が当てはまることを示した。しかし実際には、議論の目的によって適切な公理系は異なる。例えば、真理論的様相に関してはS5が最も適当だが、認識論的様相ではS4という公理系が適切であると考えられている。

また、様相論理としての最低限の定義 $\Diamond p := \neg \Box \neg p$ のみを満たす最小の公理系としては、Eという公理系が知られている。これは古典命題論理に以下の推論規則を加えたものである。

推論規則 : $\varphi \leftrightarrow \psi$ が成り立つならば、 $\Box \varphi \leftrightarrow \Box \psi$ も成り立つ。

この公理系Eより「強い」すべての公理系は、Classicalな公理系と呼ばれる。

[編集] 様相論理の意味論

様相論理の意味論としてはソール・クリプキによって与えられたクリプキ意味論と呼ばれる体系があり、それと関係するよく知られたアイディアとして可能世界論がある。上で見た公理系のバリエーションは可能世界のあいだの二項関係として定義される到達可能性の概念によって捉えることができる。

可能世界という概念をどう解釈すべきかを巡っては哲学上の議論も盛んである。

[編集] 様相論理の歴史

アリストテレスの論理学は大部分がいわゆる三段論法に関わるものであり、古典論理の枠内で扱えるものであるが、有名なDe Interpretatione（『命題論』）の海戦問題のように、時間と可能性に関わる発展的な議論も行っている。スコラ哲学では主に本質(essence)と付随的な性質(accident)の区別について、厳密な論理が展開された。中世の思想家の中で、様相論理に関わる重要な仕事をした人物としてはオッカムのウィリアム、ヨハネス・ドゥンス・スコトゥスが挙げられる。

今日の様相論理は、1918年の著書A Survey of Symbolic LogicのなかでS1-S5の公理系を導入したC・I・ルイスに始まる。J・C・C・マッキンゼーは1941年に代数的方法を用いてルイスのS2とS4の体系の決定可能性を証明した。ソール・クリプキは1959年、1963年にクリプキ意味論を導入し、様相論理を飛躍的に前進させた。

A・N・プライアーは様相論理に未来演算子Fと過去演算子Pを加えた時制論理を作り出した。このほかにもコンピュータサイエンスへの応用など、目的に応じて様々な論理が提案されている。