לוגיקה מודלית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לשכתב ערך זה
הסיבה לכך: אי קריאות כללית. אתם מוזמנים לסייע ולתקן את הבעיות, אך אנא אל תורידו את ההודעה כל עוד לא תוקן הדף. אם אתם סבורים כי אין בדף בעיה, ניתן לציין זאת בדף השיחה.

לוגיקה מודלית (מהמלה הלטינית modus) הינה הרחבה של הלוגיקה הקלאסית, המספקת את הפורמליזם לייצוג ביטויים לשוניים הכוללים ניואנסים של הכרח ואפשרות. ניואנסים אלו, כגון 'הכרחי ש-' ו'אפשרי ש-', מיוצגים על ידי האופרטורים $\Box$ ו- $\Diamond$ בהתאמה. כך, למשל, אם המשתנה הפסוקי $p$ ייצג את הטענה 'יורד גשם בחוץ', הרי שהטענה 'בהכרח יורד גשם בחוץ' תוצרן כ- $\Box p$ ואילו הטענה 'ייתכן שיורד גשם בחוץ' תוצרן כ- $\Diamond p$ .

סמנטיקה מקובלת ללוגיקה מודלית היא סמנטיקה של עולמות אפשריים, אשר מניחה את קיומם התאורטי של עולמות מרובים, השונים מהעולם שלנו, האקטואלי, במידה זו או אחרת, אך כולם בעלי ייתכנות לוגית. תחת סמנטיקה זו, הטענה 'בהכרח יורד גשם בחוץ' היא אמיתית אם ורק אם הטענה 'יורד גשם בחוץ' אמיתית בכל העולמות האפשריים, ואילו הטענה 'ייתכן שיורד גשם בחוץ' היא אמיתית אם ורק אם הטענה 'יורד גשם בחוץ' אמיתית לפחות בעולם אפשרי אחד.

למעשה, לוגיקה מודלית הינו שם קיבוצי למספר רב של מערכות פורמליות, כל אחת בעלת מאפיינים הייחודיים לה, כשממערכות אלו נגזרות לוגיקות שונות אשר מתיימרות לייצג ביטויים לשוניים בתחומים שונים, כגון לוגיקה טמפורלית לייצוג ביטויים של זמן (לפני, אחרי וכדומה), לוגיקה אפיסטמית לייצוג ביטויי ידיעה (לדעת ש...), לוגיקה דוקססטית לביטויי אמונה (להאמין ש...), לוגיקה דיאונטית לביטויים נורמטיביים (צריך ש..., מותר ל...), ולוגיקה דינמית לתיאור שינויים.

מאפיין סמנטי חשוב המבדיל בין המערכות השונות של הלוגיקה המודלית מבוסס על מושג הנגישות, שאינו מוגדר, ומפרשים אותו כקובע לגבי כל עולם במערך נתון של עולמות אפשריים, אילו עולמות במערך נגישים לו. כאשר נעשה שימוש במאפיין סמנטי זה מתקבלות ההגדרות הבאות: הטענה 'הכרחי ש- $p$ ' היא אמיתית בעולם מסוים במערך אם ורק אם הטענה ' $p$ ' אמיתית בכל העולמות הנגישים לו, ואילו הטענה 'אפשרי ש- $p$ ' היא אמיתית בעולם זה אם ורק אם הטענה ' $p$ ' אמיתית לפחות בעולם אחד הנגיש לו.

כך, למשל, במערכת המודלית K, שהיא המערכת המודלית הבסיסית ביותר, הנגישות בין העולמות היא אקראית. במערכת המודלית T, לעומת זאת, הנגישות היא רפלקסיבית, כלומר, כל עולם נגיש גם לעצמו. במערכת המודלית B הנגישות היא רפלקסיבית וסימטרית (אם עולם n נגיש לעולם m גם עולם m נגיש לעולם n). במערכת המודלית S4 הנגישות היא רפלקסיבית וטרנזיטיבית (אם עולם n נגיש לעולם m ועולם m נגיש לעולם k, גם עולם n נגיש לעולם k), ובמערכת S5, שהיא המערכת המודלית הפשוטה ביותר, הנגישות היא אוניברסלית (כל עולם נגיש לכל עולם).