射影

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射影（しゃえい、projection）とは、物体に光を当ててその影を映すこと、またその影のことである。数学や物理学の文脈では、ベクトルなどのある方向成分を取り出す写像のことを射影あるいは射影子（射影演算子、射影作用素）という。

[編集] 正射影

投影面に垂直な平行光線による射影を正射影（または直交射影、orthogonal projection）という。

例えば、xy-平面上で点あるいはベクトル a = (a, b) を考えるとき、光源を y 軸の無限大の方向から当てるなら、x 軸上のA の影は (a, 0) である。これを、a の x 軸への正射影は (a, 0) であるなどという。同様に a の y 軸への正射影は (0, b) となる。このことは xyz-空間やさらに空間の次元を上げても同じで、(a₁, a₂, ..., a_n) が与えられれば、一つを残して全て 0 にすることで、正射影が求められる。

軸に向かっての正射影でなく別の直線への正射影も考えられるが、軸への正射影ほど簡単な表示が見つかるわけではない。その場合は、その直線を軸にするような一次変換を考えることもある。

[編集] 例

集合論的な射影の例として、直積集合 ∏_λ∈Λ E_λ の元 x = (x_λ)_λ∈Λ に対し、ひとつの成分 x_μ (μ ∈ Λ) を対応させる写像

$\mbox{proj}_\mu\colon \prod_{\lambda\in\Lambda} E_\lambda \to E_\mu;\ (x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda} \mapsto x_\mu$

を挙げることができる。これを μ 成分への射影 (μ-th projection) あるいは省略して μ-射影とよぶ。また、別の例として集合 X とその上に同値関係 ∼ を定めたとき、標準的に定義される X からその商集合 X / ∼ への写像

$X \to X/{\sim};\ x \mapsto [x]$

も射影と呼ばれる。ただし、ここで集合 [x] は x の属する同値類

$[x] := \{y \in X \mid x \sim y\}$

である。この射影を（商集合への）標準射影 (cannonical projection) とよぶ。

第三の例として、内積 <·, ·> の定められた有限次元ベクトル空間 V 上で以下の条件

$P \circ P = P,$
$\langle Px, y\rangle = \langle x, Py \rangle \quad \mbox{ for any }x,y \in V$

を満たす変換 P を考える。このような P も射影の例である。このとき、V 上の恒等写像を id_V とすると、id_V − P も V 上の射影となり、V は P の像 W = Im(P) と id_V − P の像 W^⊥ = Im(id_V − P) との直和に分解される：

$V = W \oplus W^\perp \quad (W := \{P(v) \mid v \in V\}, W^\perp := \{v-P(v) \mid v \in V\}).$

このような P を V の部分空間 W への正射影子あるいは直交射影子 (orthogonal projection) と呼ぶ。

ベクトル空間の直和の底空間は直積集合と

$W \oplus W^\perp \ni x + y \leftrightarrow (x,y) \in W \times W^\perp \quad (x \in W, y \in W^\perp),$

なる対応で同一視されるから、この第三の例は第一の例の特別な場合と見なされる。また同時に、この第三の例は第二の例の特別な場合でもある。実際、P に対して準同型定理を適用することにより W は商ベクトル空間 V / W^⊥ と同一視され、P は V から商空間 V / W^⊥ への写像

$P\colon V \to V/W^\perp$

と見なされるが、商空間 V / W^⊥ は V に「x ∼ y となるのは x − y が W^⊥ の元となるとき、かつそのときに限る」として同値関係 ∼ を定めたときの商集合 V / ∼ に他ならない。

[編集] 射影子

物理学(特に量子力学)における射影演算子（しゃえいえんざんし, Projection operator ）は、基底を $\, | \alpha \rangle$ として、

$P_{\alpha} = | \alpha \rangle \langle \alpha |$

で書き表される演算子。ここで、 $\, \langle \alpha |$ はブラベクトル、 $\, | \alpha \rangle$ はケットベクトルであり、互いに共役である。またこれらは、

$\langle \alpha | \alpha \rangle = 1$

と規格化されている。これから、

$| \alpha \rangle \langle \alpha | \alpha \rangle \langle \alpha | = | \alpha \rangle \langle \alpha |$

となるから、射影演算子は、

$\, P_{\alpha} P_{\alpha} = P_{\alpha}$

という性質を持つ。また射影演算子は、

$P_{\alpha}^{\dagger} = P_{\alpha}$

を満たすことから自己共役な演算子である。ここで状態ベクトル（→波動関数）が、

$| \Psi \rangle = \sum_i \Psi_i | \alpha_i \rangle$

と、完全正規直交系 $\, | \alpha_i \rangle$ と、その展開係数であるΨ_iによって表されるとする。iは状態を表す指標である。全体の状態ベクトルから、特定の状態を取り出す演算子が射影演算子であり、状態iを取り出す射影演算子をP_iとすると、

$\begin{matrix} P_i | \Psi \rangle & = & | \alpha_i \rangle \langle \alpha_i | \Psi \rangle = | \alpha_i \rangle \langle \alpha_i | \sum_j \Psi_j | \alpha_j \rangle \\ \ & = & | \alpha_i \rangle \langle \alpha_i | \{ \Psi_1 | \alpha_1 \rangle + \Psi_2 | \alpha_2 \rangle + \cdots + \Psi_j | \alpha_j \rangle + \cdots \} \\ \ & = & | \alpha_i \rangle \langle \alpha_i | \Psi_1 | \alpha_1 \rangle + | \alpha_i \rangle \langle \alpha_i | \Psi_2 | \alpha_2 \rangle + \cdots + | \alpha_i \rangle \langle \alpha_i | \Psi_j | \alpha_j \rangle + \cdots \\ \ & = & | \alpha_i \rangle \langle \alpha_i | \Psi_i | \alpha_i \rangle = | \alpha_i \rangle \Psi_i \langle \alpha_i | \alpha_i \rangle = \Psi_i | \alpha_i \rangle \end{matrix}$