回文数

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回文数（かいぶんすう）とは、14641のように逆から数字を読んでも同じ数になる数である。逆から読んでも同じになる回文から名付けられた。

回文数は、趣味の数学の分野ではよく研究の対象になる。代表的なものとしては、ある性質を持った回文数を求めることがある。以下のようなものがよく知られている。

• 回文素数
  • 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, …
• 回文平方数
  • 0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321, …

バックミンスター・フラーは著書の中で、回文数を「シャハラザード数」とも呼んでいる。これは、『1001夜物語』（1001も回文数である）のヒロインの名にちなんでいる。

目次 1 定義 2 十進数における回文数 2.1 主な回文数の個数 3 10進数以外 4 関連項目

[編集] 定義

任意の整数 n>0 は、b進数（ただし、b≧2）においてk+1桁の数字として以下の式で表すことができる。

（ただし、すべての a_i は b より小さく a_k は 0 でない）

nが回文数になるのは、任意の i に対して a_i=a_k-i が成り立つときである。また、0は何進法においても回文数である。

別の方法としては、以下の方法によって再帰的に定義される。

• 1桁の数は回文数である。
• 2桁の数は、その数を構成する2つの数が同じ場合回文数である。
• 3桁以上の場合、最初と最後の数字が等しく、その2つの数字を取り去った数が回文数である場合回文数である。

[編集] 十進数における回文数

すべての1桁の数は回文数である。即ち、1桁の回文数は以下の10個である。

• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

2桁の回文数は以下の9個である。

• 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99

3桁の回文数は90個ある。

• 101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, … 909, 919, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989, 999

4桁の回文数は90個ある。

• 1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991, ..., 9009, 9119, 9229, 9339, 9449, 9559, 9669, 9779, 9889, 9999

[編集] 主な回文数の個数

最大桁数	1桁	2桁	3桁	4桁	5桁	6桁	7桁	8桁	9桁	10桁
総数	10	19	109	199	1099	1999	10999	19999	109999	199999
偶数	5	9	49	89	489	889	4889	8889	48889	88889
奇数	5	10	60	110	610	1110	6110	11110	61110	111110
平方数	3		6		13	14	19
素数	4	5	20		113		781		5953
平方数を約数として持たない数	6	12	67	120	675
平方数を約数として持つ数（μ(n)=0）	3	6	41	78	423
素数の平方	2		3		5
偶数個の素数の積（μ(n)=1）	2	6	35	56	324
奇数個の素数の積（μ(n)=-1）	5	7	33	65	352
2つの素数の積	3	7	36	50	269
3つの素数の積	1	4	26	58	295
カーマイケル数	0	0	0	0	0	1以上
約数の和（σ(n)）も回文数になる	6	10	47	114	688

[編集] 10進数以外

回文数は、十進法以外の記数法でも考えることが可能である。例えば二進数の回文数は

0, 1, 11, 101, 111, 1001, 1111, 10001, 10101, 11011, 11111, 100001, …

となる。メルセンヌ数やフェルマー数は、二進法における回文数に含まれる。

多くの場合、十進数での回文数は他の記数法においては回文数にはならないし、他の記数法での回文数は十進法では回文数にならない。例えば十進数の16461は、十六進数では404Dとなる。

しかし、複数の記数法において回文数になる数も存在する。例えば十進数における105は、四進数(1221)・八進数(151)・十四進数(77)・二十進数(55)・三十四進数(33)で回文数となる。また、十進数における1991は十六進数(7C7)でも回文数となる。

任意の数字 n は、b進法（ただし、b≧n+1 又は b=n-1）において回文数となる。2≦b≦n-2 であるすべてのb進数において n が回文数にならないとき、n　をstrictly non-palindromic number と呼ぶ。

十八進数において、7の累乗のいくつかは回文数になる。

73 =     111
74 =     777
76 =   12321
79 = 1367631

すべての記数法において、回文数は無限に存在する。例えば、

• 1, 11, 101, 1001, 10001, …
• 1, 11, 111, 1111, 11111, …

などは回文数である。

[編集] 関連項目

• 回文
• レピュニット