Teoria della trave

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In meccanica delle strutture, la teoria della trave, o teoria tecnica della trave, è una semplificazione della teoria dell'elasticità in campo lineare per l'analisi del comportamento meccanico delle travi. Essa è alla base dei metodi di calcolo delle travature e dei telai, strutture composte da assemblaggi di travi, e rappresenta uno dei più importanti modelli della Scienza delle costruzioni. Essa fu formulata inizialmente attorno al 1750, ma solo dopo i successi dimostrativi con la costruzione della torre Eiffel e delle ruote panoramice della fine del 19esimo secolo ottenne il successo che fece della teoria della trave una delle pietre miliari dell'ingegneria e una delle chiavi della Seconda rivoluzione industriale.

Indice

1 Cenni storici
2 Aspetto statico: le caratteristiche di sollecitazione
- 2.1 Le equazioni indefinite di equilibrio nel caso piano
3 Aspetto cinematico: le caratteristiche di deformazione
- 3.1 Le equazioni di congruenza cinematica nel caso piano
4 Aspetto costitutivo
- 4.1 Il modello di Timoshenko
- 4.2 Il modello di Eulero-Bernoulli
5 Note
6 Bibliografia
7 Voci correlate

[modifica] Cenni storici

Lo studio della trave rappresenta, per motivi storici e didattici, uno dei fondamentali argomenti della Scienza delle costruzioni. I primordi di tale studio possono essere fatti risalire ai lavori di Leonardo e Galileo. ^[1] Significativi contributi furono dati da Jacob Bernoulli, ma furono Eulero e Daniel Bernoulli nel 1750 a costruire una prima completa teoria della trave. Navier, un ingegnere, ne diede successivamente una formulazione semplificata traendo dalla teoria gli aspetti più direttamente applicativi per quella che è adesso nota come teoria tecnica della trave (il modello della linea elastica). Un contributo successivo alla teoria tecnica della trave fu dato da Timoshenko, arricchendo il modello della linea elastica con il contributo di deformabilità tagliante.

La teoria tecnica della trave è limitata al contesto elasto-lineare di analisi, di piccole deformazioni e spostamenti. Ma già prima i matematici Bernoulli ed Eulero avevano sviluppata la teoria della Elastica nel campo nonlineare dei grandi spostamenti, con riferimento allo studio dei fenomeni di instabilità delle aste.

Per approfondire, vedi la voce Carico critico Euleriano.

Nel campo dei grandi spostamenti, una generalizzazione della teoria della Elastica fa riferimento alla teoria dei fratelli Cosserat dei continui polari, recentemente riscoperta (ad opera di studiosi della scuola di Truesdell) ma già formulata agli inizi del XX secolo. Lo studio della trave è comunque tuttora un tema aperto di ricerca.

[modifica] Aspetto statico: le caratteristiche di sollecitazione

Una trave e la sezione di una trave

Risultante delle sollecitazioni interne sulla sezione di una trave.

Le azioni esterne presenti sulla trave possono essere di varia natura, anche se generalmente si considerano solo azioni riconducibili a forze e coppie, sia concentrate su particolari sezioni, sia distribuite per unità di lunghezza della trave.

Le azioni interne sono legate al vincolo di continuità interna che agisce in corrispondenza di ogni sezione della trave. Tale vincolo impone che i due tronchi (destro e sinistro) in cui la generica sezione S divide idealmente la trave permangano combacianti. Per il principio delle reazioni vincolari, tale vincolo di continuità si esplica sulla sezione mediante un sistema puntuale di sollecitazioni (le tensioni interne) che le due parti del corpo si scambiano reciprocamente attraverso le due facce della sezione. I vettori risultante $\bold{t}$ e momento risultante $\bold{T}\,\!$ di tale distribuzione puntuale definiscono le caratteristiche di sollecitazione della trave nella sezione considerata. Le relative componenti in un sistema di riferimento $(x,y,z)\,\!$ con assi $(y,z)\,\!$ nel piano della sezione e asse $x\,\!$ normale ad essa, sono:

sforzo assiale (o sforzo normale) $N\,\!$ : la componente del vettore risultante $\bold{t}$ lungo l’asse $x\,\!$
sforzi taglianti (o tagli) $(T_y, T_z)\,\!$ : le componente del risultante $\bold{t}$ secondo gli assi $(y,z)\,\!$ ;
momento torcente $M_t\,\!$ : la componente del momento risultante $\bold{T}\,\!$ secondo l'asse $x\,\!$ ;
momenti flettenti $(M_y, M_z)\,\!$ : le componenti del momento risultante $\bold{T}\,\!$ secondo gli assi $(y,z)\,\!$ .

Nel caso di trave piana con carichi contenuti nel suo piano $(x,z)\,\!$ , le caratteristiche di sollecitazione si riducono alle sole tre componenti di sforzo normale $N\,\!$ , di sforzo di taglio $T=T_y\,\!$ e momento flettente $M=M_y\,\!$ .

Il calcolo della distribuzione puntuale di tensioni risulta un problema complesso, risolvibile in forma approssimata solo in particolari condizioni semplificate di carico, di vincolo e costitutive (vedi il problema del de S. Venant). Noti il sistema equilibrato delle forze (attive e reazioni vincolari) agenti esternamente sulla trave, risulta invece di facile determinazione il calcolo delle caratteristiche di sollecitazione su ogni sezione della trave, mediante le sole equazioni di equilibrio statico di una delle due parti in cui la sezione divide la trave. La teoria tecnica della trave fa uso delle caratteristiche di sollecitazione al fine di rappresentare in modo sintetico lo stato di sollecitazione interno della trave.

[modifica] Le equazioni indefinite di equilibrio nel caso piano

Il rispetto delle condizioni di equilibrio per ogni concio infinitesimo di trave porta a definire un sistema di equazioni differenziali, le equazioni indefinite di equilibrio tra caratteristiche di sollecitazione e i carichi esterni ripartiti applicati ( $p_x,p_z,\mu\!$ ) valide per ogni sezione della trave. Per una trave piana rettilinea esso, nell’ambito della teoria del I ordine (ipotesi di piccoli spostamenti e deformazioni), è il seguente

$\frac{\partial N}{\partial x}+p_x=0\,,\;\;\;\frac{\partial T}{\partial x}+p_z=0\,,\;\;\;\frac{\partial M}{\partial x}-T+\mu=0\,\!$

[modifica] Aspetto cinematico: le caratteristiche di deformazione

Nella teoria tecnica della trave, ad una rappresentazione sintetica (monodimensionale) dell’aspetto statico corrisponde una rappresentazione sintetica (monodimensionale) dell’aspetto cinematico. Questa è ricavabile vincolando la cinematica della sezione all’ipotesi che essa descriva moti rigidi (le sezioni rimangano piane e rigide nel loro piano). Coerentemente con tale ipotesi la cinematica della sezione è descritta in funzione degli spostamenti del punto baricentrico e dalla rotazione attorno ad esso, descritti rispettivamente dai vettori $\bold{u}(s),\bold{\varphi}(s)\,\!$ . In tale cinematica lo stato di deformazione interno è descritto, per ogni sezione, dai seguenti parametri:

allungamento assiale $\epsilon\,\!$ : misura la variazione percentuale di lunghezza del generico concio di trave;
scorrimenti ( $\gamma_y,\gamma_z\,\!$ ): misurano i valori di scorrimento angolare tra la direzione tangente all’asse della trave e gli assi $(y,z)\,\!$ del piano della sezione;
angolo unitario di torsione $\Theta\,\!$ : misura la variazione di rotazione di torsione attorno all'asse $x\,\!$
curvature $(\chi_y,\chi_z)\,\!$ : misura le variazioni di rotazioni di flettente rispettivamente lungo gli assi tra due sezioni $(y,z)\,\!$ .

Nel caso di trave nel piano piano $(x,z)\,\!$ , la cinematica è descritta in funzione delle componenti di spostamento $u(s),w(s)\,\!$ e dalla rotazione $\varphi(s)\,\!$ attorno all'asse $y\,\!$ , mentre i parametri di deformazione si riducono ai soli tre $(\varepsilon, \gamma=\gamma_z, \chi=\chi_y)\,\!$ .

[modifica] Le equazioni di congruenza cinematica nel caso piano

In particolare, nel caso di trave piana rettilinea e nell’ambito della teoria del $I o$ ordine (ipotesi di piccoli spostamenti e deformazioni), valgono le seguenti relazioni di compatibilità cinematica tra deformazioni e spostamenti:

$\varepsilon= \frac{\partial u}{\partial x} \,,\;\; \gamma= \frac{\partial w}{\partial x} + \varphi\;,\;\; \chi= \frac{\partial \varphi}{\partial x} \,\!$

[modifica] Aspetto costitutivo

Dopo aver definito gli aspetti statici e cinematici, la caratterizzazione delle relazioni costitutive completa la definizione meccanica di un modello di trave. In Scienza delle costruzioni si fa prevalente riferimento a due modelli costitutivi elastici di trave: il modello di Timoshenko e il modello di Eulero-Bernoulli.

[modifica] Il modello di Timoshenko

Il modello fa uso del seguente legame elastico lineare

$N=EA \varepsilon \;\;\;T=GA^* \gamma \;\;\; M=EJ \chi$

Esso conduce alla seguente caratterizzazione della energia di deformazione per la trave

$\Phi= \frac{1}{2} \int_l \{EA \epsilon^2+GA^* \gamma^2+EJ \chi^2 \} \;dx\equiv \frac{1}{2} \int_l \Bigl\{ \frac{N^2}{EA}+\frac{T^2}{GA^*}+\frac{M^2}{EJ} \Bigr\} dx$

Per approfondire, vedi la voce en:Timoshenko beam theory.

[modifica] Il modello di Eulero-Bernoulli

Flessione di una trave elastica sotto un carico uniformemente distribuito

Il modello di trave di Eulero-Bernoulli, anche se precedente al modello di Timoshenko, può essere facilmente ricavato a partire da questo ridefinendone il legame costitutivo nel seguente

$N=EA \varepsilon \;\;\; \gamma=0 \;\;\; M=EJ \chi$

ancora elasto-lineare, ma dove la condizione di vincolo cinematico interno $γ = 0$ , annullando gli scorrimenti, obbliga le sezioni non solo ad un comportamento rigido piano, ma anche a rimanere ortogonali alla linea d’asse (ipotesi di Bernoulli)

$\gamma=w,_x+\varphi=0\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\varphi=-w,_x \;,$

In altre parole la cinematica della trave di Eulero-Bernoulli è descritta mediante il campo di spostamenti $u(x),w(x)\,\!$ , cioè solo in funzione della configurazione deformata assunta dalla linea d'asse: si parla in tal caso di linea elastica. L’espressione della relativa energia di deformazione è la seguente

$\Phi= \frac{1}{2} \int_l \{ EA \epsilon^2 +EJ \chi^2 \} dx\equiv \frac{1}{2} \int_l \Bigl\{ \frac{N^2}{EA}+\frac{M^2}{EJ} \Bigr\} dx$

Il modello di Eulero-Bernoulli è un modello più approssimato del modello di Timoshenko: per gli usuali dimensionamenti dell’ingegneria civile risulta sufficientemente accurato ed è quindi preferito al modello di Timoshenko per la sua maggiore semplicità d’uso.

Per approfondire, vedi la voce en:Euler-Bernoulli beam equation.

[modifica] Note

^ R. Ballarini, The Da Vinci-Euler-Bernoulli Beam Theory?, Mechanical Engineering Magazine Online, 2003

[modifica] Bibliografia

Benvenuto E., La Scienza delle Costruzioni e il suo sviluppo storico (prima edizione Sansoni 1981), Edizioni di Storia e Letteratura, Roma 2006, ISBN 8884982820.
Antonio Domenico Lanzo. Analisi di Travature Elastiche: metodi e applicazioni. Aracne, Roma, 2007. ISBN 9788854811621.

[modifica] Voci correlate

Ingegneria Civile

	Progetto Ingegneria - Bar degli ingegneri - Ingegneria civile
	Analisi strutturale · Geometria descrittiva · Idrologia · Materiali · Meccanica razionale Strumenti di misura · Tecnica edilizia romana · Tecnologia delle costruzioni
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