Moto di puro rotolamento

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Con moto di puro rotolamento si intende il moto di rotazione di un corpo sopra una superficie in cui il punto di contatto C con la superficie è in quiete, ovvero vi è assenza di trascinamento. L'esempio più semplice è quello della ruota il cui punto di contatto con il terreno è fermo. In ogni intervallo di tempo dt il corpo che ruota senza strisciare può essere considerato come se ruotasse rispetto ad un asse fisso durante dt, passante per il punto di contatto e ortogonale al piano di appoggio, con velocità angolare $ω$ . La velocità di un generico punto P è quindi ortogonale alla congiungente tra P e C ed è in modulo proporzionale alla distanza tra i due punti, $v P = ω | P C |$ In un intervallo successivo il contatto avviene in un altro punto C' infinitamente vicino a C e si ripete la rotazione rispetto ad un altro asse fisso passante per C' e così via. Risulta evidente come debba agire una forza per tenere fermo C nell'intervallo di tempo dt, e tale forza è la forza di attrito statico che si esercita tra il corpo e il piano. La velocità di C, che dista r dal centro di massa, si può scrivere come somma della velocità del centro di massa e della velocità di C rispetto al centro di massa.

$v_C = v_{CM} + \omega \times r$

La condizione di puro rotolamento è che la velocità del punto di contatto nel sistema di riferimento inerziale scelto sia nulla; ne deriva che deve verificarsi

$v_{CM} = - \omega \times r$

Nel moto di puro rotolamento la velocità con cui avanza il centro di massa e la velocità angolare sono due grandezze non indipendenti. Nel complesso la successione di rotazioni infinitesime attorno al punto di contatto istantaneo è equivalente ad una rototraslazione in cui il centro di massa avanza con velocità $v C M$ mentre il corpo ruota con velocità angolare $ω$ rispetto al centro di massa.

Indice

1 Moto di puro rotolamento causato da una forza
- 1.1 Limite della forza
2 Moto di puro rotolamento causato da un momento
- 2.1 Limite del momento
3 Caso generale

[modifica] Moto di puro rotolamento causato da una forza

Si consideri il caso di un corpo di massa m e raggio r che rotola senza strisciare su una superficie piana orizzontale sotto l'azione di una forza costante orizzontale F applicata all'asse; sul corpo agiscono anche la forza peso mg e la reazione vincolare del piano R che ha una componente normale N e una componente tangenziale f. La legge del moto del centro di massa è quindi:

$\mathbf{F} + \mathbf{R} + m\mathbf{g} = m\mathbf{a_{CM}}$

Proiettando quindi questa legge sugli assi x e y e quindi applicando le due equazioni cardinali della dinamica si ottiene:

$\left\{\begin{matrix} F-f=ma_{CM}\\ N-mg=0\end{matrix}\right.$

dove per $a C M$ si intende l'accelerazione del centro di massa e dove F rappresenta una forza applicata al corpo e parallela al piano e f è la forza di attrito. Applicando ora il teorema del momento angolare, scelto come polo il centro di massa del corpo rigido allora si ottiene che il momento della forza peso è nullo mentre quello della forza di attrito è:

$\mathbf{M_g} = \mathbf{r} \times \mathbf{f} =I_g \mathbf{\alpha}$

dove $I g$ è il momento di inerzia del corpo rispetto al baricentro del corpo e α è l'accelerazione angolare del corpo rigido. Mettendo a sistema quest'equazione e quella del moto lungo l'asse si ricavano $a C M$ e f.

${a_{CM}} = {{F} \over {m(1 + {{I} \over {mr^2}})}}$

${f} = {{F} \over {1 + {{mr^2} \over {I}}}}$

[modifica] Limite della forza

È essenziale notare come f non possa assumere qualsiasi valore: essa non può superare la massima forza di attrito statico, ovvero dev'essere soddisfatta la disuguaglianza

${f} \leq {\mu_s} \cdot {F}_{\perp}$

Ovvero deve valere:

${F} \leq {\mu_s} \cdot {mg} \cdot {(1 + {{mr^2} \over {I}})}$

[modifica] Moto di puro rotolamento causato da un momento

È possibile che il moto di puro rotolamento, invece che essere causato da una forza, venga provocato dall'applicazione all'asse di un momento costante, per esempio tramite un motore. Le equazioni prima formulate divengono quindi:

$\left\{\begin{matrix} \mathbf{R} + m\mathbf{g} = m\mathbf{a_{CM}}\\ \mathbf{M_g} + \mathbf{r} \times \mathbf{f} =I_g \mathbf{\alpha}\end{matrix}\right.$

Da cui si ricava

${a_{CM}} = {{M} \over {mr(1 + {{I} \over {mr^2}})}}$

${f} = {{M} \over {r(1 + {{I} \over {mr^2}})}}$

[modifica] Limite del momento

Anche in questo caso bisogna verificare che

${f} \leq {\mu_s} \cdot {N}$

${M} \leq {\mu_s} \cdot {mgr} \cdot {(1 + {{I} \over {mr^2}})}$

Tuttavia, mentre sotto azione della forza costante F la reazione tangente f si opponeva al moto, a causa dell'azione di M la reazione favorisce il moto e anzi è la causa dell'accelerazione del centro di massa.

[modifica] Caso generale

Nel caso più generale si ha l'azione contemporanea di una forza e di un momento e non si può pertanto determinare a priori il verso della forza d'attrito f, per cui la si assume parallela e concorde con l'asse delle ascisse, salvo capire il verso effettivo dal segno della soluzione. Si riscrivono quindi le equazioni del moto:

$\left\{\begin{matrix} \mathbf{F} + \mathbf{f} = m\mathbf{a_{CM}}\\ \mathbf{M_g} - \mathbf{r} \times \mathbf{f} =I_g \mathbf{{a_{CM}} \over {r}}\end{matrix}\right.$

Si ottiene quindi

${a_{CM}} = {{1} \over {m}} \cdot {{{F} + {{M} \over {r}}} \over {1 + {{I} \over {mr^2}}}}$

${f} = {{{{M} \over {r}}-{{{I} \over {mr^2}}}\cdot{F}} \over {1 + {{I} \over {mr^2}}}}$

Con i limiti prima valevoli per la forza di attrito, la quale risulta concorde o discorde rispetto all'asse x a seconda che M sia maggiore o minore di IF/mr. In particolare, se

${M} = {{IF} \over {mr}}$