Metodo generalizzato dei momenti
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Il metodo generalizzato dei momenti (in inglese Generalised Method of Moments, o GMM) è un metodo assai generale di ricerca degli stimatori di un modello statistico; costituisce una generalizzazione del metodo dei momenti. Il metodo è inoltre strettamente collegato al metodo del minimo chi-quadro della teoria classica della stima.
La denominazione metodo generalizzato dei momenti è popolare nell'ambito dell'econometria, ma raramente utilizzate al di fuori di tale ambito; in altre discipline ci si riferisce più in generale a equazioni di stima.
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[modifica] Illustrazione del metodo
L'idea alla base del metodo generalizzato dei momenti è di sfruttare condizioni sui momenti, che possono essere derivate da un problema di stima con poco sforzo. Si consideri dunque un campione di dati 
, e una funzione che dipende da un singolo dato e dal vettore di parametri oggetto di stima 
, e si imponga che tale funzione, in corrispondenza del valore "vero" dei parametri 
, abbia valore atteso nullo:
![\ \textrm{E}\left[f\left(x_{i};\vartheta_{0}\right)\right]=0](../../../../math/7/a/5/7a55b60bded5f739553ac7daccac0db4.png)
Nel metodo dei momenti, è necessario imporre una condizione del tipo sopra (relativa ai momenti di ordine 1, 2, etc.) per ciascun elemento del vettore ; ciò da origine a un sistema, la cui soluzione è il vettore di stime 
. Con il metodo dei momenti generalizzati, è possibile imporre un numero di condizioni che eccede la dimensione del vettore ; dal momento che il risultante sistema sarebbe indeterminato, le stime sono ottenute minimizzando una norma generalizzata delle condizioni sui momenti:
dove 
denota lo spazio dei parametri, e 
è una matrice di pesi di dimensione opportuna.
Le stime risultanti dipendono ovviamente da ; in particolare, sotto alcune condizioni di regolarità è possibile determinare una matrice di pesi ottimale, che minimizza la varianza degli stimatori.
[modifica] Bibliografia
[modifica] Contributi storici
- Hansen, L.P. (1982), Large Sample Properties of the Generalized Methods of Moments, Econometrica 50, 1029-1054, lo storico contributo di Lars Peter Hansen allo sviluppo del metodo generalizzato dei momenti.
[modifica] Manualistica
- Greene, W.H. (1993), Econometric Analysis, Prentice-Hall, ISBN 0-13-013297-7, un testo introduttivo ma rigoroso, di carattere generale, considerato lo standard per un corso universitario di econometria pre-dottorato; il metodo generalizzato dei momenti è trattato nel capitolo 18.
