Lemma di Itô

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Il lemma di Itō è usato in matematica nel calcolo stocastico, al fine di computare il differenziale di una funzione di un particolare tipo di processo stocastico. Sta dunque al calcolo stocastico come la regola della catena sta all'analisi matematica standard. Il lemma trova ampio impiego nella finanza matematica.

Il lemma di Itō è un estensione della sviluppo in serie di Taylor, che si usa per funzioni matematiche (deterministiche, ossia senza termine casuale). Il lemma di Itō è applicabile per una funzione stocastica, ossia con un termine in dW. Tale termine non è un differenziale esatto e rappresenta la componente casuale di una variabile aleatoria.

dW è l'abbreviazione che indica un processo di Wiener, usato per rappresentare il moto delle particelle nella teoria cinetica dei gas. In frazioni piccole a piacere della variabile temporale, una grandezza di questo tipo manifesta comunque un'elevata variabilità.

Dal lemma di Itô si ricava l'integrale di Itô, che estende e generalizza l'integrale di Riemann per funzioni stocastiche. diversamente dall'integrale di Riemann, non ha un significato geometrico, non è un'area.

[modifica] Enunciato del lemma

Sia $\ x(t)$ un processo di Itō (o processo di Wiener generalizzato); in altre parole, $\ x(t)$ soddisfa l'equazione differenziale stocastica:

$\ dx(t) = a(x,t)dt + b(x,t)dW_{t}$

Sia inoltre una funzione $\ f$ , avente derivata seconda continua. Allora:

$\ f(x(t),t)$ è ancora un processo di Itō;

$\ df(x(t),t)= \left(a(x,t)\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{1}{2}(b(x,t))^{2}\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}\right)dt+b(x,t)\frac{\partial f}{\partial x}dW_{t}$

[modifica] Giustificazione del risultato

Una dimostrazione formale del lemma richiederebbe il calcolo del limite di una sequenza di variabili casuali, che è al di là degli scopi di questo articolo. In quanto segue si propone una giustificazione informale del risultato.

Tramite un'espansione in serie di Taylor di $\ f(x(t),t)$ si ottiene:

$\ df= \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial t}dt + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}dx^2+\cdots$

Sostituendo $\ dx$ dalla SDE sopra si ha:

$\ df= \frac{\partial f}{\partial x}(adt+bdW_t) + \frac{\partial f}{\partial t}dt + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\left(a^2 dt^2+2ab\,dt\,dW_t+b^2dW_t^2\right)+\cdots$

Lo sviluppo in serie di Taylor viene di solito troncato al primo ordine; già questo consente una buona approssimazione della funzione di partenza. In questo caso, bisogna considerare che i termini in $d W 2$ vanno come quelli in $d t 1$ ; avendo lo stesso ordine di grandezza troncando al primo ordine, devono essere considerati anche i termini in $d W 2$ . Passando al limite per $\ dt$ tendente a 0, i termini $\ dtdW_t,\ dt^2$ scompaiono. Infatti, nei limiti infinitesimi (a zero) prevale la potenza con esponente più basso, che arriva a zero più lentamente degli altri termini. Per contro $\ (dW_{t})^{2}$ tende a $\ dt$ ; quest'ultima proprietà può essere dimostrata provando che:

$\ dW^2 = \textrm{E}\left(dW^2\right)$ se $\ \textrm{E}\left(dW^2\right)=dt$

La dimostrazione di tale proprietà statistica è ad ogni modo al di là degli scopi di questo articolo. Sostituendo questi risultati nell'espressione per $\ df$ si ottiene:

$\ df = \left(a\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2}b^{2}\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}\right)dt + b\frac{\partial f}{\partial x}dW_{t}$

come richiesto. Una dimostrazione formale di questo risultato richiederebbe la definizione di un integrale stocastico, un concetto avanzato che richiede nozioni di analisi funzionale e teoria della probabilità.