Hullámegyenlet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

A hullámegyenlet egy olyan differenciálegyenlet, amely leírja egy harmonikus hullám terjedését az anyagon (közvetítő közegen) keresztül. Az egyenletnek számos formája van a hullámvezetés és a közvetítő anyag fajtájától függően. A hullámok általában szinuszosak, de vannak ettől eltérőek is, például a függőlegesen felfüggesztett kötélen lefutó hullám.^[forrás?]

Tartalomjegyzék

1 d'Alembert hullámegyenlete anyagokra
2 Hullámegyenlet az elektromágnesességben
3 Hullámegyenlet a kvantummechanikában
4 Források
5 Lásd még

[szerkesztés] d'Alembert hullámegyenlete anyagokra

Egy dimenzióban a hullámegyenlet formája:

$\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}=\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}. \$

Általános megoldása, ahogy Jean le Rond d’Alembert megadta:

$\phi(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct). \$

Ez két impulzusnak felel meg, az egyik (F) a +x irányban, a másik (G) a -x irányban. A fenti egyenlet értelemszerűen kibővíthető térbeli hullámegyenletté a megfelelő y és z tagok hozzáadásával.

Nemlineáris hullámegyenlet tömegáramláshoz vezethet.

[szerkesztés] Hullámegyenlet az elektromágnesességben

Bővebben: Maxwell-egyenletek

Induljunk ki a Maxwell-egyenletek alábbi alakjából, ahol nincsenek jelen töltések (ρ = 0), valamint nem folyik áram (j = 0):

M1: $\nabla\times\vec E=-\frac{\partial \vec B}{\partial t}$

M2: $\nabla\vec E=0$

M3: $\nabla \times \vec H =\frac{\partial \vec D}{\partial t}$

M4: $\nabla \vec B =0$

A fentiekben $\vec B=\mu\vec H$ , illetve $\vec D=\epsilon_0\vec E+\vec P=\epsilon_0\cdot\left(1+\chi\right)\vec E=\epsilon\vec E$ .

M3-at idő szerint deriválva, illetve véve M1 rotációját, a következő összefüggésre jutunk:

(1): $\nabla \times \frac{\partial \vec H}{\partial t}=\epsilon\frac{\partial^2\vec E}{\partial t^2}$

(2): $\nabla \times\nabla \times \vec E=-\mu \nabla\times\frac{\partial \vec H}{\partial t}$

Az utóbbi egyenlet és M2 felhasználásával a

(3): $\nabla \times\nabla \times \vec E=\nabla(\nabla \vec E)-\Delta \vec E=-\Delta \vec E$

összefüggést kapjuk. Ezek után (1)-et (2)-be írva, felhasználva a (3)-as összefüggést, az alábbi differenciálegyenlet adódik:

$\Delta \vec E-\mu\epsilon\frac{\partial^2\vec E}{\partial t^2}=0$

Felhasználva az $n=\sqrt{\epsilon_r\mu_r}$ és $c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}$ összefüggéseket, az alábbi differenciálegyenlet áll elő:

$\Delta \vec E-\frac{n^2}{c^2}\frac{\partial^2\vec E}{\partial t^2}=0.$

A fenti egyenletet hullámegyenletnek nevezzük.

Abban az esetben, ha P nem lineáris, a nemlineáris hullámegyenletet kapjuk. Erről részletesebben a nemlineáris optika címszó alatt olvashatunk.

[szerkesztés] Hullámegyenlet a kvantummechanikában

Bővebben: Schrödinger-egyenlet

A Schrödinger-egyenlet írja le a részecskék hullámszerű viselkedését a nemrelativisztikus kvantummechanikában. Az egyenlet megoldásai hullámfüggvények, amik a részecske valószínűségi amplitúdóját írják le. A kvantummechanika leírja más hullámok – mint pl. a fény és a hang – részecsketulajdonságait is atomi szinten és az alatt.