סטיית תקן

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

סטיית התקן היא מדד סטטיסטי לתיאור הפיזור של ערכי קבוצת נתונים סביב הממוצע שלהם. במונח "סטייה" מתכוונים למרחק בין ערך בקבוצה לבין הממוצע. סטיית התקן היא אחד ממדדי הפיזור. מבחינה מתמטית סטיית התקן היא השורש הריבועי של השונות. יתרונה על השונות הוא בכך שהיא נמדדת ביחידות הנתון המקורי. ככל שהנתונים מקובצים יחדיו - סטיית התקן שלהם קטנה יותר. סטיית התקן תמיד אי-שלילית. יש להבחין בין סטיית התקן המחושבת לכל קבוצת הנתונים (האוכלוסייה) לבין סטיית התקן המדגמית המחושבת על מדגם (תת-קבוצה) מקבוצת הנתונים.
מושג זה נטבע בידי קרל פירסון בשנת 1894.

תוכן עניינים

1 סטיית תקן של הקבוצה (אוכלוסייה)
- 1.1 דוגמה מספרית
- 1.2 נוסחאות שימושיות לחישוב סטיית התקן
2 סטיית תקן של מדגם (מדגמית)
- 2.1 נוסחאות שימושיות לחישוב סטיית התקן המדגמית
3 תכונות סטיית התקן
4 סטיית תקן של משתנה מקרי
5 ראו גם

[עריכה] סטיית תקן של הקבוצה (אוכלוסייה)

הנוסחה לחישוב סטיית התקן $σ$ (קרי: סיגמא) הינה:

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2}$

$\ \overline{x}$ - ממוצע הקבוצה
$\ x_1...x_N$ - איברי הקבוצה
$\ N$ - מספר איברי הקבוצה

$\ \sum$ - מסמל פעולת סכימה.

[עריכה] דוגמה מספרית

נחשב את סטיית התקן של הקבוצה {2, 5, 8, 13}.

ממוצע הקבוצה הוא: $\overline{x} = 7 = (13 + 8 + 5 + 2)/4$ . נציב זאת בנוסחה לעיל ונקבל: $\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot \left[(13-7)^2 + (8-7)^2 + (5-7)^2 + (2-7)^2 \right]} = 4.062$

[עריכה] נוסחאות שימושיות לחישוב סטיית התקן

$\ \sqrt{{\sum_{i=1}^N{{x_i}^2}\over{N}}-\left({\sum_{i=1}^N{x_i}\over{N}}\right)^2\ } \quad; \sqrt{\frac{N\sum_{i=1}^N{{x_i}^2} - \left(\sum_{i=1}^N{x_i}\right)^2}{N^2}\ }$

$\ \sqrt{\frac{1}{N}\left(\sum_{i=1}^N{{x_i}^2} - \frac{\left(\sum_{i=1}^N{x_i}\right)^2}{N}\right)} \quad; \sqrt{\frac{1}{N}\left(\sum_{i=1}^N{{x_i}^2}\right) - \overline{x}^2}$

חישוב סטיית התקן לפי הנוסחאות בסעיף זה שימושי במקרים בהם ניתן לאסוף נתונים מכל הקבוצה (האוכלוסייה) אותה מעוניינים לחקור.
לדוגמה: מורה יכולה לאסוף נתונים של כל ציוני התלמידים בכיתתה המהווים את כלל האוכלוסייה לעניינה.
במקרים רבים לא ניתן מבחינה מעשית לאסוף את נתוני כלל האוכלוסייה ולכן מסתפקים באיסוף נתונים מחלק קטן ממנה בלבד. במקרה שכזה יש לחשב את סטיית התקן המדגמית (ראו להלן).

[עריכה] סטיית תקן של מדגם (מדגמית)

כאשר הנתונים שלנו מהווים מדגם (תת-קבוצה) מכלל הקבוצה (האוכלוסייה) הנוסחה לחישוב סטיית התקן של המדגם s - נתונה על ידי:

$s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2}$

השוני הוא ש- $\ N$ הפך ל- $\ n-1$ .

$\ \overline{x}$ - ממוצע המדגם
$\ x_1...x_n$ - איברי המדגם
$\ n$ - מספר האיברים במדגם (גודל המדגם)

[עריכה] נוסחאות שימושיות לחישוב סטיית התקן המדגמית

$\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2} - n\left(\overline{x}\right)^2}{(n-1)}\ } \quad; \sqrt{\frac{n\sum_{i=1}^n{{x_i}^2} - \left(\sum_{i=1}^n{x_i}\right)^2}{n(n-1)}}$

[עריכה] תכונות סטיית התקן

סטיית התקן תמיד אי-שלילית $\ \sigma \ge 0$
השפעת טרנספורמציה לינארית על משתני הקבוצה המקורית. נסמן: $a,\,b$ קבועים, ו- $\ x$ ערכי הקבוצה המקורית. תהא הטרנספורמציה: $y = a \cdot x + b$ . השפעתה על סטיית התקן היא: $\ \sigma_y = |a| \cdot \sigma_x$
כלומר, הכפלה של כל אחד ממשתני הקבוצה המקורית בקבוע (a) והוספת קבוע (b) משפיעה על סטיית התקן בהגדלתה פי a, התוספת הקבועה b לא משפיעה. תוצאה זו מתיישבת עם העובדה שסטיית התקן מודדת פיזור ולא מיקום, לכן הוספת קבוע ששקולה להזזה לא משפיעה ואילו הכפלה בקבוע (גדול מ-1) מגדילה את הפיזור של קבוצת הנתונים המקורית.
סטיית התקן מושפעת מאוד מערכים קיצוניים של הקבוצה (אוכלוסייה).
סטיית התקן ניתנת לחישוב רק מסולם מדידה רווחי ומעלה.
כאשר התפלגות הערכים היא נורמלית, כ-68% מהם נמצאים במרחק סטיית תקן אחת מן הממוצע, כ-95% מהם נמצאים במרחק שתי סטיות תקן מן הממוצע, וכ- 99.73% מהערכים נמצאים במרחק שלוש סטיות תקן מן הממוצע.
טבלה עבור התפלגות נורמלית.

σ	68.26894921371%
2σ	95.44997361036%
3σ	99.73002039367%
4σ	99.99366575163%
5σ	99.99994266969%
6σ	99.99999980268%
7σ	99.99999999974%

[עריכה] סטיית תקן של משתנה מקרי

סטיית התקן עבור משתנה מקרי X מוגדרת כשורש ריבועי של השונות. כלומר:

$\sigma = \sqrt{\operatorname{E}((X-\operatorname{E}X)^2)} = \sqrt{\operatorname{E}(X^2) - (\operatorname{E}(X))^2}$

$\operatorname{E}(X)$ - תוחלת המשתנה המקרי X, $\operatorname{E}(X^2)$ - המומנט השני סביב 0.
נציין שלא לכל משתנה מקרי קיימת סטיית תקן. היא קיימת רק בתנאי שהתוחלת והמומנט השני קיימים וסופיים.