אקסיומת הבחירה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

אקסיומת הבחירה היא אחת האקסיומות של תורת הקבוצות האקסיומטית, שנוסחה לראשונה על ידי ארנסט צרמלו. בניגוד לכל שאר האקסיומות האחרות במערכת האקסיומות של צרמלו-פרנקל (למעט אולי אקסיומת האינסוף), אקסיומה זו אינה נחשבת 'מובנת מאליה', וניתן לפתח את תורת הקבוצות במידה רבה גם בלעדיה. לאקסיומה יש כמה מסקנות שימושיות ביותר (ובראשן הלמה של צורן, עקרון הסדר הטוב ועקרון המקסימום של האוסדורף), ולכן היא מקובלת כמעט על כל המתמטיקאים (שאינם חוקרים את האקסיומות של תורת הקבוצות), אך בה במידה יש לה מסקנות העשויות להראות מופרכות (כגון פרדוקס בנך-טרסקי).

בלשון לא מדויקת, אקסיומת הבחירה טוענת שבהינתן אוסף של קבוצות לא ריקות, קיימת דרך לבחור איבר אחד מכל קבוצה. הפילוסוף והמתמטיקאי ברטרנד ראסל הדגים זאת בדוגמה הבאה: אם נתונה סדרה של זוגות נעליים, אפשר לבחור נעל אחת מכל זוג גם ללא אקסיומת הבחירה, לפי הכלל "בחר את הנעל השמאלית בכל זוג". לעומת זאת, כדי לבחור גרב אחד מכל זוג גרביים (שבהם אין הבחנה בין ימין לשמאל), יש להסתמך על אקסיומת הבחירה.

[עריכה] אקסיומת הבחירה

במערכת הלוגית של תורת הקבוצות האקסיומטית יש רק סוג אחד של אובייקטים - קבוצות, ויחס אחד - שייכות. לאקסיומות יש אופי של בניה: כל אקסיומה מוסיפה, בתנאים מסוימים, עוד קבוצה למאגר הקבוצות הקיימות. אקסיומת הבחירה מספקת, בתנאים מסוימים פונקציה, שגם היא סוג של קבוצה (קבוצת הזוגות הסדורים מן הצורה $\ (x,f(x))$ ; גם זוגות סדורים הם קבוצות).

אם $\ X=\left\{S_{\alpha}\right\}_{\alpha \isin \Lambda}$ היא משפחה של קבוצות, פונקציה $f:X\rarr \bigcup_{\alpha\isin\Lambda}S_\alpha$ נקראת פונקציית בחירה אם היא מקיימת את התנאי $\ \forall\alpha\isin\Lambda:f(S_\alpha)\isin S_\alpha$ .

האקסיומה קובעת כך: לכל משפחה של קבוצות לא ריקות קיימת פונקציית בחירה.

המכפלה הקרטזית של אוסף קבוצות מוגדרת כקבוצת פונקציות הבחירה מקבוצות אלה. אקסיומת הבחירה שקולה, אם כך, לטענה שהמכפלה הקרטזית של קבוצות לא ריקות, אינה ריקה.

[עריכה] תורת הקבוצות ללא אקסיומת הבחירה

במקרים רבים קיומה של פונקציית בחירה מובטח מן האקסיומות האחרות, ואין צורך באקסיומת הבחירה. בהכללה אפשר לומר שהאקסיומות האחרות "בונות" את פונקציית הבחירה, בעוד שאקסיומת הבחירה היא הנחת קיום שאינה קונסטרוקטיבית.

להלן כמה דוגמאות שבהן אין צורך באקסיומת הבחירה.

בבחירה ממספר סופי של קבוצות, אפשר לבנות את פונקציית הבחירה באינדוקציה.
בהינתן אוסף קבוצות לא ריקות של מספרים טבעיים, קל לבנות פונקציה שתבחר איבר מכל קבוצה - מכיוון שהמספרים הטבעיים סדורים בסדר טוב, ניתן לבנות את הפונקציה המחזירה עבור כל קבוצה את האיבר הקטן ביותר בה.
בהינתן אוסף קטעים לא ריקים על גבי הישר הממשי, קל לבחור נציג לכל קטע: נקודת האמצע שלו.
באופן כללי יותר, בקבוצות פתוחות על הישר הממשי יש נקודות רציונליות, ולכן אפשר לבחור מכל קבוצה נקודה שהמונה שלה הוא הקטן ביותר מבין כל הנקודות בקבוצה שהמכנה שלהן הוא הקטן ביותר.

לעומת זאת, בהינתן אוסף של כל הקבוצות הלא ריקות של מספרים ממשיים, אין שום דרך ידועה (וקרוב לודאי שלא תמצא כזו) לבנות פונקציה שכזו בצורה מפורשת, כלומר פונקציה שעבור כל קבוצה (מתוך אינסוף הקבוצות הקיימות) תוכל "להחליט" איזה איבר מתוכה לבחור. על כן, במקרה זה יש צורך באקסיומת הבחירה.

על כן, אקסיומת הבחירה היא בעייתית שכן היא אומרת שניתן לעשות דבר מה, אולם אינה מצביעה על שום דרך לעשותו. אכן, רוב ההוכחות שנסמכות על אקסיומת הבחירה מוכיחות קיום של דבר מה מבלי שיראו דרך מעשית לבנות אותו.

יתר על כן, חלק מהתוצאות של קבלת אקסיומת הבחירה נראות נוגדות את האינטואיציה (וזאת, כזכור, בזמן שאקסיומת הבחירה נדמית אינטואיטיבית מאוד). למשל, אקסיומת הבחירה שקולה לעקרון הסדר הטוב, שאומר שניתן לסדר בסדר טוב כל קבוצה. בפרט נובע מכך שניתן לסדר את המספרים הממשיים בסדר טוב - דבר הנראה מנוגד לאינטואיציה ושאין דרך ידועה לעשותו בפועל. דוגמה נוספת היא פרדוקס בנך-טרסקי: באמצעות קבלת אקסיומת הבחירה ניתן לפרק את כדור היחידה במרחב התלת ממדי למספר חלקים, ובאמצעות פעולות של הזזה וסיבוב בלבד להרכיב מהחלקים שני כדורי יחידה מאותו הרדיוס. אקסיומת הבחירה מאפשרת להוכיח שהתהליך אפשרי; היא אינה מראה כיצד ניתן לבצע את התהליך בפועל (יש לזכור כי בכל מקרה מדובר על תהליך הפועל על עצמים מתמטיים מופשטים ואידאליים).

העובדה שאקסיומת הבחירה טוענת לקיומה של אפשרות בחירה, מבלי שתראה כיצד לבצע את הבחירה, הביאה לדחייתה על ידי אנשי הזרם בפילוסופיה של המתמטיקה הקרוי אינטואיציוניזם.

[עריכה] שימושי אקסיומת הבחירה

אקסיומת הבחירה מופיעה בתחומים רבים במתמטיקה, וכמה משפטים חשובים שקולים לה, דוגמת עקרון הסדר הטוב, הלמה של צורן ועקרון המקסימום של האוסדורף. ראו גם משפט טרסקי.