Variable aléatoire

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Un exemple de variable aléatoire :
le résultat du jet d'un dé

Une variable aléatoire est une fonction définie depuis l'ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire, vers l'ensemble des nombres réels. On doit pouvoir déterminer la probabilité qu'elle prenne une valeur réelle donnée ou qu'elle prenne une valeur dans un intervalle donné.. À l'origine, une variable était une fonction de gain, qui représentait le gain obtenu à l'issue du résultat d'un jeu. Par exemple, supposons qu'un joueur lance un dé et que celui-ci gagne 1€ s'il amène un six et perde 10€ s'il amène un autre résultat. Alors il est possible de définir la variable aléatoire de gain qui associe 1 au résultat « six » et -10 à un résultat inintéressant. La probabilité pour que la variable aléatoire prenne la valeur 1 correspond exactement à la probabilité pour que le joueur gagne 1€. Les variables aléatoires sont très utilisées en théorie des probabilités et en statistiques. Dans les applications, les variables aléatoires sont utilisées pour modéliser le résultat d'un mécanisme non-déterministe ou encore comme le résultat d'une expérience non-déterministe qui génère un résultat aléatoire.

Sommaire

1 Détails
2 Quelques variables aléatoires
3 Notions de base
4 Espérance mathématique
- 4.1 Définition
- 4.2 Généralisation: espérance d'une fonction d'une variable aléatoire
5 Moments d'une variable aléatoire
6 Médiane et quantiles
7 Informatique
8 Voir aussi

[modifier] Détails

La variable aléatoire la plus simple est donnée par le résultat d'un lancer au jeu de pile ou face, qui vaut pile ou face. Un autre exemple simple est donné par le résultat d'un jet de dés, pour lequel les valeurs possibles sont 1, 2, 3, 4, 5, 6 (si le dé est classiquement cubique). De telles variables aléatoires sont qualifiées de discrètes car elles prennent des valeurs bien séparées. A contrario, la mesure de la taille d'un individu pris au hasard dans une population ressemble davantage à un nombre réel positif (cela n'est pas tout à fait vrai non plus, car des questions ergonomiques rendent d'autant plus improbable l'énoncé d'un nombre qu'il comporte de décimales significatives; l'attracteur est en fait un fractal). Cette variable aléatoire est alors qualifiée par convention de continue. L'étude de la répartition des valeurs prises par une variable aléatoire conduit à la notion de loi de probabilité.

En mathématiques, et plus précisément en théorie des probabilités, une variable aléatoire est une fonction mesurable définie sur un espace de probabilités. La mesure image correspondante est appelée loi de la variable aléatoire. Ce type de fonction permet de modéliser un phénomène aléatoire, comme par exemple le résultat d'un jet de dés. Une propriété intéressante de l'intégrale de Lebesgue fait qu'un évènement de probabilité strictement nulle n'est pas nécessairement impossible au sens strict du terme (ainsi, considérons un réel tiré au hasard dans l'intervalle [0, 1] ; la probabilité qu'il soit rationnel est nulle, alors que les rationnels constituent dans cet intervalle un ensemble infini, et même partout dense).

[modifier] Quelques variables aléatoires

En guise d'introduction aux définitions concernant les variables aléatoires, il semble intéressant de présenter brièvement une famille de variables très utilisées.

Outre la variable certaine qui prend une valeur donnée avec une probabilité égale à 1, la variable aléatoire la plus simple est appelée variable de Bernoulli. Celle-ci peut prendre deux états, qu'il est toujours possible de coder 1 et 0, avec les probabilités p et 1-p. Une interprétation simple concerne un jeu de dé dans lequel on gagnerait un euro en tirant le six (p = 1/6). Sur une séquence de parties, la moyenne des gains tend vers p lorsque le nombre de parties tend vers l'infini.

Si on considère qu'une partie est constituée par n tirages au lieu d'un seul, le total des gains est une réalisation d'une variable binomiale qui peut prendre toutes les valeurs entières de 0 à n. Cette variable a pour moyenne le produit np. On obtient un exemple moins futile en considérant le score d'un candidat dans un sondage électoral.

Si n est assez grand et p pas trop petit, on peut trouver une approximation convenable en utilisant la variable de Gauss. Dans les sondages cela permet d'associer un intervalle de confiance au résultat brut. Ainsi, il y a 95 chances sur 100 pour qu'une enquête portant sur 1 000 personnes donne un résultat correct à ± 3 % près.

Toujours avec n grand, l'approximation de Poisson est préférable si p est assez petit pour que la moyenne np ne soit pas trop grande, de l'ordre de quelques unités. Dans un sondage ce serait la loi applicable aux « petits » candidats. C'est surtout la loi utilisée dans des problèmes de files d'attente.

La somme des carrés de ν variables de Gauss indépendantes est une variable de χ² à ν degrés de liberté (la variable exponentielle en est un cas particulier). Le test du χ² est utilisé pour apprécier la valeur de l'adéquation d'une loi de probabilité sur une distribution empirique.

Si on divise une variable de Gauss par une variable de χ (racine carrée de la précédente), on obtient une variable de Student. Le rapport de deux variables de χ² indépendantes définit une variable de Snedecor. Ces deux lois sont utilisées dans l'analyse de populations supposées gaussiennes.

[modifier] Notions de base

[modifier] Fonction de répartition

Il serait possible d'introduire cette notion à partir de l'une quelconque des variables précédemment considérées mais il paraît plus clair d'étudier le cas du dé sous un angle différent. En effet, il définit une variable aléatoire X qui prend avec la même probabilité d'apparition (1/6) des valeurs dans l'ensemble {1,2,3,4,5,6}. On peut alors associer à toute valeur réelle x la probabilité d'obtenir un tirage inférieur ou égal à x, ce qui définit une courbe en escalier dont les marches ont une hauteur égale à 1/6.

Formellement, cela conduit à une fonction de répartition

$F_X(x) = P(X\leq x)\,$

Dans celle-ci, la majuscule X représente la variable aléatoire, ensemble de valeurs numériques, et la minuscule x représente la variable d'état, variable au sens usuel du terme.

Si les événements ne sont plus équiprobables, cela ne fait que déformer la courbe. Pour introduire une notion nouvelle, on peut commencer par remplacer le dé par une roulette à six numéros (ce qui conduit à un problème rigoureusement identique). Ensuite, on ne change rien de fondamental si on remplace les six nombres entiers par les repères des centres d'arcs de 60 degrés. À partir de là il est possible d'augmenter le nombre de secteurs en réduisant leur taille : les échelons deviendront de plus en plus petits jusqu'à être indiscernables sur un dessin. Le passage à la limite remplace la variable discrète par une variable continue qui prend toutes les valeurs réelles dans l'intervalle ]0,360] : c'est une variable uniforme.

Une fonction de répartition est croissante (au sens large) sur l'intervalle ]-∞,+∞[, et continue à droite en tout point ; elle tend vers 0 en -∞ et vers 1 en +∞. Réciproquement, toute fonction vérifiant les propriétés (caractéristiques) précédentes peut être considérée comme la fonction de répartition d'une variable aléatoire.

L'intérêt de la fonction de répartition réside dans le fait qu'elle est valable aussi bien pour les variables continues définies sur un ensemble continu que pour les variables discrètes définies sur un ensemble dénombrable (dans la plupart des cas pratiques il se réduit à un ensemble de valeurs équidistantes que l'on peut ramener à un ensemble d'entiers). Le remplacement progressif de courbes en escaliers par des courbes continues permet de voir intuitivement comment une variable continue peut fournir une approximation souvent plus facile à manipuler que la variable discrète originale.

Malheureusement ces avantages de la fonction de répartition, intéressants pour la visualisation des phénomènes, disparaissent dès que l'on veut approfondir les problèmes. Dans ce cas, il est généralement plus commode d'utiliser les notions décrites dans les paragraphes suivants.

[modifier] Fonction de probabilité d'une variable discrète

La loi d'une variable discrète est déterminée tout simplement par l'ensemble des probabilités de ses valeurs (Fonction de Masse). Si l'on suppose qu'elle prend des valeurs entières (de signe quelconque), cela s'écrit :

$P_X(i) = P(X = i)\ (i \in \mathbb{Z})$

On reconstruit la fonction de répartition (dont les valeurs sont alors appelées probabilités cumulées) par la relation :

si $n \leq x < n+1$ , alors $F_X(x) = \sum_{k=-\infty}^n P_X(k)$ .

[modifier] Densité de probabilité d'une variable continue

Une variable continue possède en général une fonction de répartition continue en tout point et dérivable par morceaux. Il est alors commode de la dériver pour obtenir la densité de probabilité, vérifiant :

$p_X(x) = {dF_X \over dx}$

qui est définie et à valeurs positives (ou nulles) sur $]-\infty,\, +\infty[\,$ , telle que $\int_{-\infty}^{+\infty} p_X(x)\ dx = 1$ .

On reconstruit la fonction de répartition par la relation :

$F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} p_X(\xi)\ d\xi$

Dans les raisonnements généraux, il est souvent commode d'écrire ces formules sous forme différentielle :

$P(x < X \leq x + dx) = p_X(x)\ dx$

Si l'on effectue un changement de variable selon la formule $Y = f(X)\,$ , la nouvelle densité de probabilité se calcule par :

$p_Y(y) dy = p_X(x) dx\,$

[modifier] Espérance mathématique

[modifier] Définition

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire se définit comme la moyenne des valeurs prises par cette variable, pondérées par leurs probabilités.

Dans le cas d'une variable discrète que l'on suppose prendre les valeurs entières, elle se définit simplement par

$E[X] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} k\ P_X(k)$

(sous réserve d'existence, c'est-à-dire ici de sommabilité).

Pour une variable continue, la formule différentielle donnée précédemment s'intègre en

$E[X] = \int_{-\infty}^{+\infty} x\ p_X(x)\ dx$

(sous réserve d'existence, c'est-à-dire ici d'intégrabilité).

[modifier] Généralisation: espérance d'une fonction d'une variable aléatoire

$X$ étant une variable aléatoire, une fonction $f$ supposée régulière définit une nouvelle variable aléatoire $f\circ X$ notée $f (X)$ dont l'espérance, lorsqu'elle existe, s'écrit en remplaçant $k$ par $f (k)$ ou $x$ par $f (x)$ dans les formules précédentes (théorème de transfert).

Variable aléatoire discrète: $E[f(X)] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} f(k)\ P_X(k)$

Variable aléatoire continue: $E[f(X)] = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ p_X(x)\ dx$

En particulier, il est intéressant de considérer la variable aléatoire à valeurs complexes $e^{i \theta X}\,$ (où $\theta \in \mathbb{R}$ ) dont l'espérance mathématique est [la valeur en $θ$ de] la transformée de Fourier inverse de la densité de probabilité :

$\phi_X(\theta) = E\left[e^{i \theta X}\right]\,$

L'exponentielle se développe en série : $\phi_X(\theta) = E\left[\sum_{k=0}^\infty {(i \theta X)^k \over {k !}}\right]$

ou, si la densité de probabilité est une fonction suffisamment régulière :

$\phi_X(\theta) = \sum_{k=0}^\infty {(i \theta)^k \over {k !}}E\left[X^k\right]$

[modifier] Moments d'une variable aléatoire

[modifier] Définition

On définit le moment d'ordre k d'une variable aléatoire X, que l'on note $m k$ , comme :

$m_k \equiv E[~X^k~] \,$ .

Les moments sont utiles pour caractériser une variable aléatoire:

Le moment d'ordre un de la variable: $\mu \equiv m_1= E[X] \,$ correspond à l'espérance

Le moment d'ordre deux de la variable centrée: $\sigma^2\equiv m_2 = E \left [\left(X-\mu\right)^2\right] \,$ est appelé variance.

Le moment d'ordre trois de la variable centrée-réduite: $m_3 =E \left[ \left(\frac{X-\mu}{\sigma} \right)^3 \right] \,$ est appelé coefficient d'asymétrie.

Le moment d'ordre quatre de la variable centrée-réduite: $m_4 =E\left[\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)^4\right] \,$ est appelé kurtosis.

[modifier] Interprétation des moments

L'espérance est un indicateur de tendance centrale.

La variance est un indicateur de dispersion. On le note souvent $σ 2$ . La racine carrée de la variance, appelée écart-type, et notée $σ$ , fournit une grandeur homogène à la grandeur de base et à la moyenne

Le coefficient d'asymétrie est un indicateur d'asymétrie.

La kurtosis est un indicateur d'aplatissement des extrêmes des distributions.

[modifier] Caractérisation d'une variable aléatoire par ses moments

Sous certaines conditions de continuité sur un segment fermé et borné, une variable aléatoire suffisamment régulière peut être caractérisée, et de façon équivalente, par sa fonction de répartition, sa densité de probabilité (ou sa fonction de probabilité), et par ses moments $m_k(X)\,$ . Voir Moment (mathématiques).

[modifier] Formules de détermination récursive des moments

En définissant

Les moments par rapport à l'origine (moments ordinaires ou raw moments en anglais):

$m_k(X) \equiv E\left[X^k\right]\,$

Les moments centrés, notés généralement $\mu_k(X)\,$ et qui se définissent ainsi :

$\mu_k(X) \equiv E[(X-E[X])^k]\,$

Il existe des formules (qui ressemblent à celle du binôme) permettant de calculer un moment centré d'ordre k à partir des moments ordinaires d'ordre inférieur ou égal à k, et réciproquement ; voici quelques exemples (jusqu'à l'ordre 4) :

$\mu_2 = m_2 - m^2_1\,$

$\mu_3 = m_3 -3\,m_1\,m_2 + 2m^3_1\,$

$\mu_4 = m_4 -4\,m_1\,m_3 + 6\,m^2_1\,m_2 - 3m^4_1\,\!$

et :

$m_2 = \mu_2 + m^2_1\,$

$m_3 = \mu_3 + 3\,m_1\mu_2 + m^3_1\,$

$m_4 = \mu_4 + 4\,m_1\mu_3 + 6\,m^2_1\mu_2 + m^4_1\,$

[modifier] Médiane et quantiles

On appelle médiane d'une variable aléatoire X, un réel m tel que

$P(X \leq m ) \geq 1/2 \leq P(X \geq m)$

Dans le cas d'une variable aléatoire discrète, cette définition est peu intéressante car elle permet l'existence de plusieurs médianes

si X est le numéro apparaissant sur la face supérieure d'un dé à 6 faces parfaitement équilibré, pour tout réel m strictement compris entre 3 et 4, on a :

$P(X \leq m ) = P(X \geq m) = 1/2$

ou bien l'existence d'une médiane qui ne donne pas une probabilité de 0,5

Si X est la somme obtenue en lançant deux dés à 6 faces parfaitement équilibrés. X ne possède qu'une seule médiane 7 mais $P( X \leq 7 ) = 21/36$

Dans le cas d'une variable continue, si la fonction de répartition est strictement croissante, la définition est équivalente à la suivante :

la médiane de X est le réel unique m tel que $F_X(m)=0,5\,$

Le fait que la fonction de répartition soit continue, et supposée strictement croissante, à valeurs dans ]0 ; 1[, assure l'existence et l'unicité de la médiane.

Si la médiane a comme valeur m=0.5, il est possible cependant de s'intéresser à d'autres valeursde m (que l'on nomme les quantiles:

Quartile: m = 0.25, 0.75
Décile: m = 0.1, 0.2, 0.3...
Centile: m = 0.01, 0.02...

[modifier] Informatique

On utilise souvent des générateurs pseudo aléatoires pour simuler le hasard. Il existe également des moyens d'exploiter l'indétermination de phénomènes physiques, par exemple en analysant les variations d'un film de lampe à lave, en analysant le bruit thermique, ou mieux encore, en demandant à la nature quantique de jeter des dés pour nous (c.f. Générateur_de_nombres_aléatoires#Générateurs_reposants_sur_des_phénomènes_physiques).

[modifier] Voir aussi

modifier Articles de mathématiques en rapport avec les probabilités ou les statistiques

Statistiques descriptives • Analyse des données • Visualisation des données • Estimateurs • Tests statistiques • Séries temporelles et économétrie • Statistique Mathématique • Théorie des probabilités • Variables aléatoires • Inégalités • Théorèmes limites • Processus stochastiques • La mécanique statistique • Les statistiques et l'économie • Les statistiques et la sociologie • Les statistiques et les sciences • Les probabilités et les jeux • Les équations aux dérivées partielles et les probabilités

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[modifier] Quelques variables aléatoires

[modifier] Notions de base

[modifier] Fonction de répartition

[modifier] Fonction de probabilité d'une variable discrète

[modifier] Densité de probabilité d'une variable continue

[modifier] Espérance mathématique

[modifier] Définition

[modifier] Généralisation: espérance d'une fonction d'une variable aléatoire

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[modifier] Définition

[modifier] Interprétation des moments

[modifier] Caractérisation d'une variable aléatoire par ses moments

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