Processus stochastique

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Le calcul des probabilités classique concerne des épreuves où chaque résultat possible (ou réalisation) est un nombre, ce qui conduit à la notion de variable aléatoire. Un processus stochastique ou processus aléatoire (voir Calcul stochastique) ou fonction aléatoire (voir Probabilité) représente une évolution, généralement dans le temps, d'une variable aléatoire.

[modifier] Mathématiquement

Soit $(\Omega , \mathcal F , P )$ un espace de probabilité. On appelle processus aléatoire à valeur dans $(A, \mathcal A)$ un élément $X = (\Omega,\mathcal F,(X_t)_{t\ge 0},P)$ , où pour tout $t\in \mathbb{R}, X_t\,$ est une variable aléatoire à valeur dans $(A,\mathcal A)$ .

Si $({\mathcal F}_t)_t\,$ est une filtration, on appelle processus aléatoire adapté, à valeur dans $(A,\mathcal A)$ , un élément $X=(\omega,\mathcal F,\mathcal{F}_t,(X_t)_t,P)$ où $X_t\,$ est une variable aléatoire $\mathcal{F}_t$ -mesurable à valeur dans $(A,\mathcal A)$

La fonction $\mathbb R \rightarrow A\ : \ t \mapsto X_t(\omega)$ est appelée la trajectoire associé à la réalisation $\omega \,$ .

[modifier] Pratiquement

On appelle processus aléatoire une famille de variables aléatoires $X(t)\,$ qui associe une variable aléatoire à chaque valeur $t \in T\,$ . Si l'ensemble $T\,$ est dénombrable, le processus est discret ; s'il est indénombrable, le processus est continu.

La notion de processus discret apparaît spécialement dans le processus de Markov dans lequel la dernière valeur connue résume toute l'information sur l'évolution : la loi de probabilité conditionnelle (voir Loi de probabilité à plusieurs variables) d'une valeur se réduit à une fonction de la seule valeur précédente.

La notion de processus continu est utilisée dans les techniques qui considèrent des signaux compliqués fonctions du temps ou, plus rarement, d'une variable d'espace. Il est alors commode de renverser la définition : le processus est un ensemble de fonctions construit autour d'un signal considéré comme une réalisation de celui-ci. En la matière, les processus de Gauss sont particulièrement importants.