Valeur efficace

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La valeur efficace (aussi dite RMS ou Root Mean Square) d’un courant ou d'une tension, variables au cours du temps, correspond à la valeur du courant continu ou de la tension continue produisant un échauffement identique dans une résistance. Cette valeur efficace ne peut être calculée que si ce courant ou cette tension sont des grandeurs périodiques.

[modifier] Définitions

[modifier] Valeur efficace d'un courant

Elle est notée $I$ .

Physiquement, c'est l’intensité du courant continu qui dissiperait la même puissance que $i (t)$ à travers une résistance, soit telle que $R\cdot I^2 = \overline{R\cdot i^2}$ .
Mathématiquement, c'est la racine carrée de la moyenne du carré de l'intensité calculée sur une période $T$ : c'est la norme L2 définie sur l'espace de fonctions périodiques, ayant la période en question.

La valeur efficace de l'intensité $i (t)$ d'un courant variable de période $T$ se calcule par :

$\sqrt{\frac{1}{T} \cdot \int_{t}^{t+T} i^2(t) \,\mathrm dt}$

[modifier] Valeur efficace d'une tension

Elle est notée $V$ .

Physiquement, c'est la valeur de la tension continue qui provoquerait une même dissipation de puissance que $u (t)$ si elle était appliquée aux bornes d'une résistance.
Mathématiquement, elle se calcule par :]

$\sqrt{\frac{1}{T} \cdot \int_{t}^{t+T} u^2(t) \,\mathrm dt}$

[modifier] Cas particulier des régimes sinusoïdaux

Pour les régimes sinusoïdaux de tension et de courant ( $u (t) = V max sin(t)$ ), on peut montrer que la valeur efficace est égale à la valeur de crête (valeur maximale, $V max$ ) divisée par la racine carrée de deux :

$V_{\rm eff} = \frac{V_{\rm max}}{\sqrt{2}}$

L'explication mathématique réside dans le calcul de l'intégrale suivante :

$V_{\rm eff} = \sqrt{\frac{1}{T} \cdot \int_{t}^{t+T} u^2(t) \,\mathrm dt}$ = $\sqrt{\frac{1}{2 \pi} \cdot \int_{0}^{2 \pi} u^2(\theta) \,\mathrm d\theta}$ = $\sqrt{\frac{1}{2 \pi} \cdot V^2_{\rm max} \cdot \int_{0}^{2 \pi} \sin^2 \theta \,\mathrm d\theta}$ .

Sachant que $\textstyle\int_0^{2 \pi} \sin^2 \theta \,\mathrm d \theta = \pi$ , il vient $V_{\rm eff} = \sqrt{\tfrac{V^2_{\rm max}}{2}} = \tfrac{V_{\rm max}}{\sqrt{2}}$ .

[modifier] Remarques

La valeur efficace est toujours supérieure ou égale à la valeur absolue de la valeur moyenne : $U \geq |Ū|$ et $I \geq |Ī|$
Une grandeur $g (t)$ et la valeur absolue de cette grandeur $| g (t) |$ ont la même valeur efficace.
Certaines personnes emploient le terme valeur RMS de l'anglais Root Mean Square : racine de la moyenne des carrés

[modifier] Mesures des valeurs efficaces

Les appareils qui mesurent l'intensité des courants électriques se nomment ampèremètres et ceux qui mesurent les tensions se nomment voltmètres. La mesure des valeurs efficaces a toujours été plus difficile donc plus coûteuse que la mesure des valeurs moyennes.

On peut décomposer les appareils capables de mesurer les valeurs efficaces en trois familles :

[modifier] Les appareils analogiques utilisant l'électromagnétisme

D'une manière générale, la bande passante de ce type d'appareil est toujours limitée à quelques centaines de Hertz.

[modifier] Les appareils ferromagnétiques

Ou à fer mobile.

Un champ magnétique est créé par un courant image de la grandeur (courant ou tension) à mesurer. Sous l'influence de ce champ magnétique, deux palettes en fer doux se repoussent avec une force dont l'intensité dépend de la valeur moyenne du carré du champ donc de la valeur efficace de la grandeur à mesurer.

[modifier] Les appareils électrodynamiques

C'est le principe qui était utilisé pour construire les wattmètres analogiques.

Une bobine fixe traversée par un courant $i 1$ crée le champ magnétique. Une autre bobine mobile est traversée par un courant $i 2$ . Dans le cas des wattmètres, l'un des courants est l'image de la tension aux bornes du dipôle, l'autre est l'image de la tension à ses bornes.

Mais si ces courants sont proportionnels à la même grandeur (tension ou courant), la déviation obtenue dépend de la valeur efficace de cette grandeur.

Souvent les appareils de ce type pouvaient être utilisés en wattmètre, en voltmètre ou en ampèremètre.

[modifier] Les appareils électrostatiques

Ces appareils étaient toujours destinés à la mesure en haute tension. Ils utilisaient les forces de répulsions s'exerçant entre des pièces mobiles soumises à des différence de potentiels de même signe.

[modifier] Les appareils analogiques utilisant les phénomènes électrothermiques

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[modifier] Les appareils numériques

On nomme voltmètre ou ampèremètre RMS ou TRMS des appareils numériques qui mesurent effectivement la valeur efficace et non pas la valeur moyenne de la valeur absolue multiplié par un coefficient comme le font les voltmètres numériques bas de gamme.