Puissance (physique)

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En physique, la puissance est la quantité d'énergie par unité de temps fournie par un système à un autre. La puissance correspond donc à un débit d'énergie : deux systèmes de puissances différentes pourront fournir le même travail (la même énergie), mais le système le plus puissant sera le plus rapide.

Dans certains cas, il faut une grande puissance au démarrage (grande énergie sur une courte durée), donc seuls les systèmes puissants peuvent faire fonctionner le dispositif. C'est notamment le cas lorsqu'il faut vaincre un frottement sec ou bien lorsqu'il y a un effet de seuil (comme par exemple la vitesse minimale de décollage d'un avion ou d'une fusée). Une rame de métro nécessite une puissance d'environ 1 mégawatt pour se lancer, et 10 à 15 fois moins pour maintenir sa vitesse de croisière.

La puissance est toujours égale au produit d'une grandeur d'effort (force, couple, pression, tension, etc.) par une grandeur de flux (vitesse, vitesse angulaire, débit, intensité du courant, etc.)

L'unité de puissance du SI est le watt, noté W, qui correspond à un joule fourni par seconde.

On utilise encore le cheval-vapeur dans le cas des moteurs thermiques : 1 ch = 736 W environ.

Toujours dans le domaine automobile, la puissance fiscale, est un paramètre arbitraire défini par l'administration. En France, depuis juillet 1998, la puissance fiscale dépend de la valeur normalisée d'émission de dioxyde de carbone (CO₂) en g/km et de la puissance maximale du moteur en kW. Si on note C la quantité de CO₂ rejetée (en g/km) et P la puissance du moteur (en kW), alors :

P = ( C / 45 ) + ( P / 40 )* avec *=1.6

La puissance moyenne P_m est l'énergie E délivrée par un phénomène divisée par la durée de ce phénomène :

$P_m = \frac{E}{\tau}$

La puissance instantanée est la dérivée de l'énergie fournie par rapport au temps :

$P = \frac{dE}{dt}$

on a :

$P_m = \frac{1}{\tau} \int_0^\tau P(t) \cdot dt$

Par abus de langage, on attribue la puissance à l'objet qui la transforme :

un moteur de 100 ch
une lampe de 100 W

Dans ce cas il s'agit soit :

de la puissance nominale sous condition de fonctionnement (par exemple lampe alimentée en 230V) ;
de la puissance maximale (moteur à plein régime, ou à régime donné).

[modifier] En mécanique

[modifier] Puissance d'une force

Si le point d'application d'une force $\vec{F}$ (en N) se déplace à la vitesse instantanée $\vec{v}$ (en m/s), alors la puissance instantanée vaut (en W)

$P = \vec{F} \cdot \vec{v}$

On retrouve aisément ce résultat en dérivant le travail d'une force.

[modifier] Puissance d'un couple.

Si l'objet est en rotation sous l'action d'un couple $\vec{C}$ (en N·m) et tourne à la vitesse de rotation instantanée $\vec{\Omega}$ (en rad/s), alors la puissance instantanée vaut (en W)

$P = \vec{C} \cdot \vec{\Omega}$

[modifier] Puissance des interactions.

Dans une liaison parfaite, la puissance des interactions est nulle. On obtient cette grandeur par le calcul du co-moment des torseurs cinématique et statique de la liaison.

[modifier] Puissance générale

De manière générale, tout solide en mouvement et subissant des efforts extérieurs peut être modélisé par 2 torseurs:

Le torseur cinématique décrivant le mouvement du solide : $\{\mathcal{V}(S/R) \}_{A/R} = \begin{Bmatrix} \ \vec \Omega (S/R) \\ \ \vec V (A \in S/R) \end{Bmatrix}_{A/R}$

Le torseur des efforts extérieurs ou torseur statique (S: le solide, E: l'extérieur) : ${\mathcal{T} _A (E \to S) }_{/R} = \begin{Bmatrix} \overrightarrow{\mathcal{R}}(E \to S) \\ \overrightarrow{\mathcal{M}_A}(E \to S) \end{Bmatrix}_{A/R}$

Puissance extérieure ( $\mathcal{P}_{ext}$ )

Soit un ensemble de solides (notés $\mathcal{S}_i$ avec i un indice) qui constitue ce que l'on appelle un système (noté $S$ ). La puissance extérieure est la puissance de tous les efforts extérieures qui s'appliquent sur le système. On se place par rapport au référentiel $R$ qui est le référentiel de base c'est-à-dire le référentiel du laboratoire, considéré comme galiléen.

Pour calculer la puissance extérieure instantanée du système en mouvement subissant des efforts extérieurs, on calcule le comoment ( $\otimes$ ) des 2 torseurs : $\mathcal{P}_{ext} = \begin{Bmatrix} \ \vec \Omega (S/R) \\ \ \vec V (A \in S/R) \end{Bmatrix}_{A/R} \otimes \begin{Bmatrix} \overrightarrow{\mathcal{R}}(R \to S) \\ \overrightarrow{\mathcal{M}_A}(R \to S) \end{Bmatrix}_{A/R}$

Ce qui donne en fait la formule suivante :

$\mathcal{P}_{ext} = \overrightarrow{\mathcal{R}}(R \to S).\vec V (A \in S/R) + \overrightarrow{\mathcal{M}_A}(R \to S).\vec \Omega (S/R)$

Puissance intérieure ( $\mathcal{P}_{int}$ )
Les puissances intérieures ( $\mathcal{P}_{int}$ ) d'un système sont les puissances entre les divers solides. Il faut utiliser la même méthode de calcul c'est-à-dire effectuer un comoment des 2 torseurs. Seulement il faut faire très attention aux torseurs à utiliser. En effet, ce comoment s'effectue entre le torseur des efforts d'un solide sur un autre et le torseur distributeur des vitesses du solide en question par rapport à l'autre solide!! .

Ce qui donne : $\mathcal{P}_{int} = \begin{Bmatrix} \ \vec \Omega (Si/Sj) \\ \ \vec V (A \in Si/Sj) \end{Bmatrix}_{A/Sj} \otimes \begin{Bmatrix} \overrightarrow{\mathcal{R}}(Sj \to Si) \\ \overrightarrow{\mathcal{M}_A}(Sj \to Si) \end{Bmatrix}_{A/Si}$

Remarques :

C'est la formule générale. Si on considère un solide en translation ou si on considère un solide en rotation subissant un couple, on retombe sur les formules déjà précédemment énoncées.
La puissance instantanée calculée de cette manière ne dépend pas du point A du solide mais le comoment doit être calculé avec les 2 torseurs exprimés au même point
L'expression de ces 2 types de puissances nous amène au théorème de l'Énergie cinétique :

$\frac{dE_c}{dt}\ = \mathcal{P}_{ext} + \sum \mathcal{P}_{int}$

Démontrons que la puissance ne dépend pas du point du solide :

Formules de changement de point (la vitesse et le moment sont des vecteurs qui s'expriment en un point) :

$\vec V (A \in S/R) = \vec V (B \in S/R) + \vec \Omega (S/R) \land \vec {BA}$
$\overrightarrow{\mathcal{M}_A}(R \to S) = \overrightarrow{\mathcal{M}_B}(R \to S) + \overrightarrow{\mathcal{R}}(R \to S) \land \vec {BA}$

La puissance exprimée au point A est :
$P(t) = \overrightarrow{\mathcal{R}}(R \to S).\vec V (A \in S/R) + \overrightarrow{\mathcal{M}_A}(R \to S).\vec \Omega (S/R)$
On utilise la formule de changement de point : $P(t) = \overrightarrow{\mathcal{R}}(R \to S).(\vec V (B \in S/R) + \vec \Omega (S/R) \land \vec {BA}) + (\overrightarrow{\mathcal{M}_B}(R \to S) + \overrightarrow{\mathcal{R}}(R \to S) \land \vec {BA}).\vec \Omega (S/R)$
Puis on développe : $P(t) = \overrightarrow{\mathcal{R}}(R \to S).\vec V (B \in S/R) + \overrightarrow{\mathcal{M}_B}(R \to S).\vec \Omega (S/R) + \overrightarrow{\mathcal{R}}(R \to S).(\vec \Omega (S/R) \land \vec {BA}) +$ $(\overrightarrow{\mathcal{R}}(R \to S) \land \vec {BA}).\vec \Omega (S/R)$
Or on sait que : $\overrightarrow{\mathcal{R}}(R \to S).(\vec \Omega (S/R) \land \vec {BA}) = \vec \Omega (S/R).(\vec {BA} \land \overrightarrow{\mathcal{R}}(R \to S))$ (permutation circulaire).
Donc le terme : $\overrightarrow{\mathcal{R}}(R \to S).(\vec \Omega (S/R) \land \vec {BA}) + (\overrightarrow{\mathcal{R}}(R \to S) \land \vec {BA}).\vec \Omega (S/R)$ est en fait nul.
Finalement on tombe donc sur : $P(t) = \overrightarrow{\mathcal{R}}(R \to S).\vec V (B \in S/R) + \overrightarrow{\mathcal{M}_B}(R \to S).\vec \Omega (S/R)$
Autrement dit, pour tout point A et B du solide, on a l'égalité vectorielle suivante : $\overrightarrow{\mathcal{R}}(R \to S).\vec V (B \in S/R) + \overrightarrow{\mathcal{M}_B}(R \to S).\vec \Omega (S/R) = \overrightarrow{\mathcal{R}}(R \to S).\vec V (A \in S/R) + \overrightarrow{\mathcal{M}_A}(R \to S).\vec \Omega (S/R)$

Conclusion : on a donc bien démontré que la puissance ne dépend pas du point choisi.

[modifier] Principe des puissances virtuelles.

Il s'agit d'un artifice de calcul permettant de sélectionner dans un mécanisme les puissances d'actions extérieures et d'établir ainsi une relation entre elles (loi entrée/sortie par exemple).

[modifier] En électricité

[modifier] Cas général : régimes variables

Si la tension et le courant varient, la puissance instantanée consommée par un dipôle est égale au produit des valeurs instantanées du courant qui le traverse et de la tension à ses bornes.

$p(t) = u(t) \cdot i(t) \,$

avec P en Watt, u en volts et i en ampères.

[modifier] Puissance en continu

En régime de tension et de courant continu,

$P = U \cdot I$

U et I étant les valeurs constantes de la tension aux bornes du dipôle et de l'intensité du courant à travers le dipôle.

Remarques

Si la tension U est continue et l'intensité est variable on a : $P(t) = U \cdot \overline i (t) = U \cdot I_{moy} \,$ avec $I_{moy} \,$ : valeur moyenne du courant $i(t) \,$
Si l'intensité I est continue et la tension est variable on a : $P(t) = \overline u (t) \cdot I = U_{moy} \cdot I \,$ .

[modifier] Puissance dissipée par une résistance : effet Joule

Si R est la résistance du dipôle, alors on a :

$u(t) = R \cdot i(t) \,$

Cela conduit à l'expression de la puissance instantanée :

$P(t) = R \cdot i^2(t) =\frac{u^2(t)}{R}\,$

La puissance moyenne s'écrit alors : $P= R \cdot \underline {i^2(t)} =\frac{\underline {u^2(t)}}{R}\,$ avec

$\underline {i^2(t)} \,$ la moyenne du carré de l'intensité
$\underline {u^2(t)} \,$ la moyenne du carré de la tension

On introduit généralement les valeurs efficaces du courant ou de la tension afin de mettre la puissance moyenne sous la forme :

$P = R \cdot I^2 = \frac{U^2}{R}$ avec

$I =\sqrt{\underline {i^2(t)}} \,$ valeur efficace du courant.

$U =\sqrt{\underline {u^2(t)}} \,$ valeur efficace de la tension.

[modifier] Puissance dissipée par un dipôle actif linéaire

[modifier] Bilan de puissance en fonctionnement récepteur

D'un point de vue électrique, on peut modéliser un dipôle actif linéaire (électromoteur) par un M.E.T. (Modèle équivalent de Thévenin). Remarque : ce modèle est très sommaire et ne rend compte que des puissances électriques mises en jeu.

Bilan des puissances électriques (approximatif, déduit d'un modèle):

La puissance absorbée par le dipôle est fournie par l'alimentation électrique :

$P_a = U\cdot I \,$

Cette puissance est transformée en puissance électromagnétique et en pertes par effet Joule :

$P_a \approx P_{em} + p_J$

$U\cdot I = E\cdot I + r\cdot I^2$

Dans ce cas la puissance utile est la puissance électromagnétique : $P_u = P_{em} = E \cdot I \,$

[modifier] Bilan de puissance en fonctionnement générateur

La puissance absorbée par le dipôle est fournie par l'extérieur sous forme de puissance électromagnétique :

$P_a = P_{em} =E \cdot I \,$

Cette puissance est transformée en puissance électrique et en pertes par effet Joule et dans ce cas la puissance utile est la puissance électrique : $P_u = U \cdot I \,$ :

$P_{em} \approx P_u + p_J$

$E\cdot I = U\cdot I + r\cdot I^2$

[modifier] Rendement

$\eta =\frac{P_u}{P_a}$

Cas ou le dipôle actif fonctionne en récepteur : $\eta = \frac{P_{em}}{U\cdot I}= \frac{E}{U}$

Cas ou le dipôle actif fonctionne en générateur : $\eta = \frac{U\cdot I}{P_{em}}= \frac{U}{E}$

On a toujours $\eta \,< 1$ .

[modifier] Puissances en régime sinusoïdal de tension et de courant

En régime sinusoïdal, le courant et la tension ont pour expression :

$i(t) =I_{max}\cdot \cos(\omega t ) = I \sqrt 2 \cdot \cos(\omega t ) \,$

$u(t) =U_{max}\cdot \cos (\omega t + \varphi ) = U \sqrt 2 \cdot \cos (\omega t+ \varphi ) \,$

avec U et I: valeurs efficaces de la tension et du courant., et φ est le déphasage de la tension par rapport au courant.

Le produit de ces deux grandeurs a pour expression :

$p(t) =UI \cdot \cos(\varphi) + UI \cdot \cos(2 \omega t + \varphi ) \,$

Le premier terme de la somme est appelé puissance active, le deuxième terme de la somme puissance fluctuante. Cette somme correspond à une puissance sinusoïdale de fréquence double de celle du courant et de la tension et dont la position moyenne est égale à la puissance active.

La valeur de $\cos(\varphi) \,$ correspond au facteur de puissance en régime sinusoïdal
La courbe ci-dessous représente la puissance consommée par un dipôle soumis à une tension sinusoïdale de valeur efficace égale à 230 V, traversé par un courant également sinusoïdal de valeur efficace égale à 18 A et dont le facteur de puissance est égal à 0,8. On constate que la puissance instantanée varie entre +7,45 kW et -0,83 kW soit une amplitude de variation de 8,3 kW (2UI) et une moyenne d'environ 3,3 kW : = UI cos φ

[modifier] Puissance active

La puissance moyenne consommée en régime sinusoïdal porte le nom de puissance active. Cette dénomination provient de la méthode de Boucherot (voir ci-dessous)
Elle a pour expression :

$P =U \cdot I \cdot \cos \varphi = \frac{U_{max} \cdot I_{max}}{2}\cdot \cos \varphi \,$

(U et I sont des valeurs efficaces)

[modifier] Puissance fluctuante

C'est une puissance sinusoïdale de fréquence double de celle du courant et de la tension. C'est elle qui impose une distribution en triphasé des fortes puissances.

[modifier] Puissance apparente et réactive - Théorème de Boucherot

Le théorème de Boucherot permet, en régime sinusoïdal de tension et de courant, de calculer la puissance totale consommée par une installation électrique comportant plusieurs dipôles de facteur de puissance divers, ainsi que le courant total appelé dans cette installation. Cette méthode permet de faire des calculs selon un formalisme de type vectoriel sans utiliser la représentation de Fresnel plus lourde lorsque l'on est en présence de nombreux dipôles.
Pour appliquer cette méthode, il est nécessaire de créer deux intermédiaires de calcul qui n'ont pas véritablement de sens physique :

La puissance apparente notée S est égale au produit des valeurs efficaces : $S =U \cdot I \,$ en Volt Ampère ou VA
La puissance réactive notée Q, est telle que $Q =U \cdot I \cdot \sin \varphi \,$ en Volt Ampère Réactif ou var.

Les unités sont différentes des Watts alors qu'elles sont homogènes à une puissance afin de respecter le principe physique qui autorise d'additionner des grandeurs de mêmes unités. En effet additionner des puissances actives avec des puissances réactives ou apparentes n'a aucun sens physique.

Les trois puissances sont liées par la relation :

$S^2 =P^2 +Q^2 \,$

Soit un dipôle dont l'impédance complexe s'écrit : $\underline Z = R + jX \,$ . On a :

$P = R \cdot I^2 \,$ ; $Q = X \cdot I^2 \,$ ; $S = {\left| \underline Z \right|} \cdot I^2 \,$

De plus on a par définition : $\cos \varphi = \frac PS \,$ et $\sin \varphi = \frac QS \,$ donc $\tan \varphi = \frac QP \,$

[modifier] Puissance complexe

La puissance complexe est un outil mathématique de traitement des puissances électriques à l'aide de la transformation complexe.

$\underline S = \underline U \cdot \underline I^* \,$ avec $\underline I^* \,$ : nombre complexe conjugé de l'intensité complexe $\underline I \,$ ( pour avoir la puissance efficace, diviser par 2 sauf si les modules de U et I sont déjà des valeurs efficaces)
$\underline S = P + \mathbf{j} Q \,$ avec $P \,$ : puissance active et $Q \,$ : puissance réactive.

[modifier] Puissance en régime triphasé

On se reportera à l'article triphasé

[modifier] Puissances en régime sinusoïdal de tension et en régime non-sinusoïdal de courant

Ce cas est très important : La distribution de l'électricité se fait en régime sinusoïdal de tension (si l'on fait abstraction de la pollution du réseau), mais une grande quantité des récepteurs utilisés par les particuliers ou les industriels appellent des courants non-sinusoïdaux du fait des convertisseurs de l'électronique de puissance qui sont utilisés pour les alimenter. En particulier, la majorité des appareils électroniques grand-public sont alimentés à travers un montage redresseur qui absorbe un courant alternatif en forme de pics.

[modifier] Expression de la puissance

Dans l'expression générale de la puissance :

$p(t) = u(t) \cdot i(t) \,$

on substitue la décomposition en séries de Fourier de chacune des grandeurs :

$u(t) \,$ étant supposée sinusoïdale, elle ne contient qu'un seul harmonique de valeur efficace $U_1 = U \,$ .
$i(t) = I_1 \sqrt 2 \cos( \omega t + \varphi_1) + ... + I_n \sqrt 2 \cos (n \omega t + \varphi_n)\,$

Seul les produits de termes de même fréquence ont une valeur moyenne non nulle. La puissance active est donc :

$P = U_1 \cdot I_1 \cdot \cos \varphi_1 \,$

Seul le premier harmonique (le fondamental) transporte la puissance active.

[modifier] Puissance thermique

La puissance thermique est une notion attachée au flux thermique (ou flux de chaleur) à travers une surface. Cette notion de conduction thermique est expliquée dans les articles Conduction thermique et transfert thermique. Dans ces articles, on introduit de manière unidimentionnelle la densité de flux thermique : $\varphi= - \lambda \frac{\delta T}{\delta x}\,$ .

Pour généraliser cette densité de flux dans toutes les directions (y et z), on définit le vecteur densité de flux thermique suivant : $\overrightarrow{\mathcal{J}_Q} = - \lambda*\vec{grad}(T)$ (loi de Fourier).

Cette expression de la propagation de chaleur présente 2 avantages :

elle est tridimensionnelle (elle exprime la propagation dans toutes les directions de l'espace)
on peut librement utiliser les coordonnées de notre choix (cartésiennes, cylindriques ou sphériques)

Le choix des coordonnées dépend de la symétrie du problème. Par exemple, si on étudie la chaleur produite par un fusible (cylindrique), on utilisera bien sûr les coordonnées cylindriques.

La puissance thermique à travers une surface $S$ (noté $\mathcal{P}_{Q}$ ), par définition, est le flux du vecteur $\overrightarrow{\mathcal{J}_Q}$ à travers la surface $S$ , c'est-à-dire :

$\mathcal{P}_{Q} = \iint\limits_{S} {\overrightarrow{\mathcal{J}_Q}}\, \vec {dS}\$

Remarques

Les systèmes de coordonnées sont détaillés dans l'article suivant : Système de coordonnées
La surface $S$ peut être ouverte ou fermée. La différence entre une surface fermée et une surface ouverte est expliquée dans l'article : Surface

[modifier] Liens externes

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