Nombres premiers sexy

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En mathématiques, un couple de nombres premiers sexy est un couple de nombres premiers qui diffèrent de six unités (voir les articles sur les nombres premiers jumeaux et les nombres premiers cousins). Le nom « nombre premier sexy » provient du mot latin pour « six », sex.

[modifier] Couples

Les nombres premiers sexy (suites A023201 et A046117 dans OEIS) inférieurs à 500 sont :

(5,11), (7,13), (11,17), (13,19), (17,23), (23,29), (31,37), (37,43), (41,47), (47,53), (53,59), (61,67), (67,73), (73,79), (83,89), (97,103), (101,107), (103,109), (107,113), (131,137), (151,157), (157,163), (167,173), (173,179), (191,197), (193,199), (223,229), (227,233), (233,239), (251,257), (263,269), (271,277), (277,283), (307,313), (311,317), (331,337), (347,353), (353,359), (367,373), (373,379), (383,389), (433,439), (443,449), (457,463), (461,467)

En novembre 2005, le plus grand couple de nombre premiers sexy connu est (p, p+6) pour

p = (48011837012 · ((53238 · 7879#)² - 1) + 2310) · 53238 · 7879#/385 + 1

Il est composé de 10 154 chiffres et a été découvert par Torbjörn Alm, Micha Fleuren et Jens Kruse Andersen^[1]. 7879# est une primorielle.

[modifier] n-uplets

Comme les nombres premiers jumeaux, les nombres premiers sexy peuvent être étendus à des constellations de nombres premiers plus grandes.

[modifier] Triplets

Les triplets de nombres premiers (p, p + 6, p + 12) tels que p + 18 est composé sont appelés triplets de nombres premiers sexy ; les triplets de nombres premiers sexy (suites A046118, A046119 et A046120 dans OEIS) inférieurs à 1 000 sont :

(7,13,19), (17,23,29), (31,37,43), (47,53,59), (67,73,79), (97,103,109), (151,157,163), (167,173,179), (227,233,239), (257,263,269), (271,277,283), (347,353,359), (367,373,379), (557,563,569), (587,593,599), (607,613,619), (647,653,659), (727,733,739), (941,947,953), (971,977,983)

En avril 2006, le plus grand triplet de nombres premiers sexy connu est celui découvert par Ken Davis qui comporte 5 132 chiffres^[2] :

p = (84055657369 · 205881 · 4001# · (205881 · 4001# + 1) + 210) · (205881 · 4001# - 1) / 35 + 1

[modifier] Quadruplets

Les quadruplets de nombres premiers sexy peuvent seulement commencer avec les nombres premiers qui ont leurs chiffres finissant par 1 en représentation décimale (sauf à partir de 5) ; les quadruplets de nombres premiers sexy (suites A046121, A046122, A046123 et A046124 dans OEIS) inférieurs à 1 000 sont :

(5,11,17,23), (11,17,23,29), (41,47,53,59), (61,67,73,79), (251,257,263,269), (601,607,613,619), (641,647,653,659)

En novembre 2005, le plus grand quadruplet de nombres premiers sexy connu est (p, p+6, p+12, p+18) pour

p = 411784973 · 2347# + 3301

Il a été découvert par Jens Kruse Andersen et comporte 1 002 chiffres^[1].

[modifier] Quintuplet

Comme chaque cinquième nombre de la forme 6n ± 1 est divisible par 5, le seul quintuplet de nombres premiers sexy existant est (5,11,17,23,29), et il n'est pas possible de trouver une séquence plus longue (sextuplet, etc.).

[modifier] Notes et références

↑ ^a ^b (en) Gigantic sexy and cousin primes, message de Jens Kruse Andersen sur PrimeFormGW (PFGW), un groupe de discussion Yahoo! consacré aux tests de primalité, 3 novembre 2005.
↑ (en) The Largest Known CPAP's, sur le site de Jens Kruse Andersen.