Nombre normal

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En mathématiques, un nombre normal est un nombre réel qui a ses chiffres equi-distribués dans son développement décimal, ceux-ci apparaissant tous à la même fréquence. Les « chiffres » font référence aux chiffres avant la virgule (la partie entière) et la suite infinie de chiffres après la virgule (la partie fractionnaire).

Supposons b>1 un entier et x un nombre réel. Considérons la suite de chiffres de x dans la base b. Si s est une suite finie de chiffres en base b, nous écrivons N(s,n) pour le nombre d'apparition la suite s parmi les premiers n chiffres de x. Le nombre x est appelé normal en base b si

$\lim_{n\to\infty} \frac{N(s,n)}{n} = \frac{1}{b^{k}}$

pour chaque suite s de longueur k. (Exprimé en mots : la probabilité de trouver la suite s parmi les chiffres de x est précisément celle attendue si la suite de chiffres a été produite complètement de façon aléatoire.) Le nombre x est appelé un nombre normal (ou quelque fois un nombre absolument normal) s'il est normal dans chaque base b.

Le concept fut introduit par le mathématicien français Émile Borel en 1909. En utilisant le lemme de Borel-Cantelli, il démontra le théorème du nombre normal: presque tous les nombres réels sont normaux, dans le sens où l'ensemble des nombres non-normaux possède une mesure de Lebesgue égale à zéro. Ce théorème établit l'existence des nombres normaux, mais Waclaw Sierpinski fut le premier à donner un exemple de l'un d'eux.

L'ensemble des nombres non-normaux est connu comme n'étant pas dénombrable; ceci est fait facilement en omettant simplement un chiffre.

Le nombre de Champernowne

0,1234567891011121314151617...

qui contient dans son développement décimal la concaténation de tous les nombres naturels est normal en base 10, mais il ne l'est pas dans certaines autres bases. De plus c'est un nombre univers en base 10.

La constante de Copeland-Erdős

0,2357111317192329313741...

obtenue en concatenant les nombres premiers est connue comme étant un nombre normal en base 10.

Aucun nombre rationnel n'est normal dans aucune base, puisque la suite de chiffres dans le développement des nombres rationnels est périodique à partir d'un certain rang. Waclaw Sierpinski a fourni la première construction explicite d'un nombre normal en 1917. Un nombre normal calculable fut construit par Verónica Becher et Santiago Figueira ; un exemple de nombre normal non-calculable est donné par la constante de Chaitin $\Omega\,$ .

Il est extrêmement difficile de démontrer la normalité des nombres qui n'ont pas de construction explicite. Par exemple, on ne sait pas si √2, $\pi\,$ , ln(2) ou e sont normaux (mais tous sont conjecturés comme normaux, conformément aux expériences). Nous ne savons même pas quels chiffres apparaissent infiniment souvent dans le développement décimal de ces constantes. David H. Bailey et Richard E. Crandall ont conjecturé en 2001 que tout nombre algébrique irrationnel est normal ; bien qu'aucun contre-exemple ne soit connu, on ne connait pas non plus de nombre algébrique qui soit normal dans une base.

[modifier] Références

Bailey, D. H. and Crandall, R. E. « On the Random Character of Fundamental Constant Expansions. » Experimental Mathematics 10, 175-190, 2001. online version
Becher, V. and Figueira, S. « An example of a computable absolutely normal number », Theoretical Computer Science, 270, pp. 947-958, 2002.
Borel, E. « Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques. » Rend. Circ. Mat. Palermo 27, 247-271, 1909.
Champernowne, D. G. « The Construction of Decimals Normal in the Scale of Ten. » Journal of the London Mathematical Society 8, 254-260, 1933.
Sierpinski, W. « Démonstration élémentaire d'un théorème de M. Borel sur les nombres absolutment normaux et détermination effective d'un tel nombre. » Bull. Soc. Math. France 45, 125-144, 1917.

[modifier] Voir aussi

Notion de nombre
Ensembles usuels		Extensions
ℕ ensemble des entiers naturels ℤ groupe des entiers relatifs D ensemble des décimaux ℚ corps des rationnels ℝ corps des réels ℂ corps des complexes		ℍ algèbre des quaternions O algèbre des octonions S algèbre des sédénions autres hypercomplexes ℚ_p corps des p-adiques hyperréels et superréels ordinaux et cardinaux surréels et pseudoréels
$\scriptstyle\mathbb{N}\ \sub\ \mathbb{Z}\ \sub\ \mathbb{D}\ \sub\ \mathbb{Q}\ \sub\ \mathbb{R}\ \sub\ \mathbb{C}$
Propriétés particulières
pair ou impair • premier ou composé • carré • parfait positif ou négatif • dyadique • irrationnel algébrique ou transcendant • imaginaire pur nombre de Liouville • normal • univers constructible • calculable • transfini • infiniment petit
Exemples d'importance historique
π : $\sqrt 2$ : φ : 0 : $i$ : e : ℵ₀ :	constante d'Archimède racine carrée de deux nombre d'or zéro unité imaginaire constante de Neper aleph-zéro	(≈ 3,141592654…) (≈ 1,414213562…) (≈ 1,618033989…) de carré valant −1 (≈ 2,718281828…) premier cardinal infini
autres constantes mathématiques
Notions connexes
chiffre • numération • fraction • opération • calcul • algèbre arithmétique • suite d'entiers • ∞ infini • chiffre significatif