Mesure de Lebesgue

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La mesure de Lebesgue doit son nom au mathématicien français Henri Léon Lebesgue. Elle est d'une importance capitale en théorie de l'intégration.

Sommaire

1 Définition formelle
2 Propriétés de la mesure de Lebesgue
3 Tribu de Lebesgue
4 Mesure de Lebesgue sur
- 4.1 Théorème-définition
- 4.2 Explications
5 Voir aussi

[modifier] Définition formelle

Soit $(\R,B(\R))$ l'espace mesurable $\R$ muni de sa tribu borélienne. Il existe une unique mesure notée $λ$ sur cet espace mesurable qui possède les deux propriétés suivantes :

$\forall a \in \R , \forall A \in B(\R), \lambda(a + A)=\lambda(A)$ (invariance par translation)
$\lambda ( [0;1] )=1 \,$ .

Cette mesure est appelée mesure de Lebesgue sur $\R$ . De plus, on peut montrer qu'elle coïncide avec la notion de longueur sur les intervalles, c'est-à-dire que la mesure de Lebesgue d'un intervalle est égale à la longueur de cet intervalle : par exemple, $\lambda ( [ 1 ; 9 ] ) =9-1=8\,$ . De la même manière, $\lambda ( ] -4 ;8] )= 8 - (-4) = 12\,$ . Ce n'est pas de cette façon que Lebesgue a introduit historiquement cette mesure.

Remarque : si $a \in \R$ et $A \subset \R$ , on a noté $a + A\,$ l'ensemble : $\{ a + x , x \in A \}$

[modifier] Propriétés de la mesure de Lebesgue

La mesure de Lebesgue est finie sur les parties bornées de $\R$ , en particulier sur les compacts, ce qui signifie que :

$\forall K \, \text{compact de }\R, \lambda(K) < + \infty$

En particulier, $\forall n \in \N , \lambda( [-n;n] ) = 2n < + \infty \,$ . Et puisque $\R$ est égal à l'union de tous les boréliens $[-n;n]\,$ quand n parcourt $\N$ , on dit que la mesure de Lebesgue est $σ$ -finie.

La mesure de Lebesgue est extérieurement régulière, ce qui signifie que :

$\forall A \in B(\R), \lambda(A)= \inf \{\lambda(O), O \text{ ouvert de }\R,\,A \subset O \}$ .

La mesure de Lebesgue est intérieurement régulière, ce qui signifie que :

$\forall A \in B(\R), \lambda(A)= \sup \{\lambda(K), K \text{ compact de }\R,\,K \subset A \}$ .

[modifier] Tribu de Lebesgue

On vient de voir que la mesure de Lebesgue est une mesure sur la tribu borélienne de $\R$ . Cependant, cette tribu n'est pas la plus grosse sur laquelle on puisse définir cette mesure.

[modifier] Ensemble négligeable pour la mesure de Lebesgue

Soit $N\,$ une partie de $\R$ . On dit que $N\,$ est un ensemble négligeable pour la mesure de Lebesgue s'il existe un borélien $A \in B(\R)$ tel que :

$N \subset A$
$\lambda(A)=0 \quad \,$

Les parties négligeables de $\R$ sont donc les ensembles inclus dans un borélien de mesure de Lebesgue nulle. On note $N_{\lambda}\,$ l'ensemble des parties négligeables de $\R$ .

[modifier] Définition de la tribu de Lebesgue

Par définition, la tribu de Lebesgue sur $\R$ , notée $L(\R)$ , est la tribu engendrée par l'union de $B(\R)$ et de $N_{\lambda}\,$ . On montre en fait qu'elle est égale à :

$L(\R) = \sigma ( \{ A \cup N , A \in B(\R) , N \in N_{\lambda} \})$

La tribu de Lebesgue est donc la tribu engendrée par les ensembles qui s'écrivent comme l'union d'un borélien et d'un ensemble négligeable. Puisque l'ensemble vide est de mesure de Lebesgue nulle et que l'union d'un borélien avec l'ensemble vide est égal à ce même borélien, il en résulte que la tribu de Lebesgue contient la tribu borélienne.

Contrairement à ce qu'on pourrait penser, la tribu de Lebesgue n'est pas égale à $P(\R)$ (l'ensemble des parties de $\R$ ) et ce résultat s'obtient grâce à l'utilisation de l'axiome du choix. En d'autres termes, il existe une partie de $\R$ qui n'est pas dans la tribu de Lebesgue ; voir ensemble non-mesurable.

[modifier] Extension de la mesure de Lebesgue

Maintenant qu'on a défini la tribu de Lebesgue, on peut voir qu'on peut étendre la mesure de Lebesgue sur cette tribu de telle sorte que la nouvelle mesure obtenue coïncide avec la mesure de Lebesgue sur les boréliens.

On pose, pour tout borélien $A\,$ et pour tout ensemble négligeable $N\,$ :

$\Lambda(A \cup N) = \lambda ( A )$ .

On peut montrer que $Λ$ est bien définie et que c'est une mesure sur la tribu de Lebesgue.

L'espace mesuré $(\R,L(\R),\Lambda)$ est alors ce qu'on appelle un espace mesuré complet, ce qui signifie qu'il contient tous ses ensembles négligeables. Autrement dit, si $N$ est une partie de $\R$ telle qu'il existe $B \in L(\R)$ avec $\Lambda(B)=0 \quad$ et $N \subset B$ alors $N \in L(\R)$ . On dit aussi que la tribu de Lebesgue est la tribu complétée de la tribu borélienne pour la mesure de Lebesgue.

[modifier] Cardinal de la tribu de Lebesgue

Intuitivement, on sent bien que la tribu de Lebesgue sur $\R$ est beaucoup plus grosse que la tribu borélienne. On prouve cela rigoureusement en montrant que :

$\mbox{card}\,(L(\R)) = \mbox{card}\,( P(\R) )$
$\mbox{card}\,(B(\R)) = \mbox{card}\,(\R)$

Dit autrement, cela signifie que la tribu de Lebesgue est en bijection avec l'ensemble des parties de $\R$ (bien qu'elle ne lui soit pas égale lorsqu'on suppose que l'axiome du choix est vrai) alors que la tribu borélienne est simplement en bijection avec $\R$ . Or il est bien connu en théorie des ensembles que $\R$ n'est pas en bijection avec $P(\R)$ (et plus généralement, cela est vrai pour n'importe quel ensemble). En conséquence, on ne pourra jamais trouver une bijection entre la tribu de Lebesgue et la tribu borélienne, ce qui veut bien dire que la tribu de Lebesgue contient plus d'éléments que la tribu de Borel. Il résulte qu'on a l'inclusion stricte suivante :

$B(\R) \subsetneq L(\R)$

[modifier] Mesure de Lebesgue sur $\R^{n}$

On considère à présent l'espace mesurable $(\R^{n},B(\R^{n}))$ , c'est-à-dire l'espace $\R^{n}$ muni de sa tribu borélienne. On va voir qu'on peut définir la mesure de Lebesgue sur cet espace. Plus généralement, on peut définir les mesures de Lebesgue sur les espaces vectoriels euclidiens.

[modifier] Théorème-définition

Il existe une unique mesure sur l'espace $(\R^{n},B(\R^{n}))$ , qu'on notera $\lambda_{n}\,$ telle que :

$\forall a \in \R^{n}, \forall A \in B(\R^{n}),\lambda_{n}(a+A)=\lambda_{n}(A)\,$ (invariance par translation)
$\lambda_{n}([0;1]^{n})=1\,$

Cette mesure est appelée mesure de Lebesgue sur $(\R^{n},B(\R^{n}))$ .

[modifier] Explications

Prenons le cas de $\R^{2}$ . La mesure de Lebesgue $\lambda_{2}\,$ sur cet espace coïncide sur les rectangles de la forme $[a;b] \times [c;d]\,$ avec la notion d'aire de ceux-ci. En effet, on prouve qu'on a $\lambda_{2}([a;b] \times [c;d])=(b-a)(d-c)\,$ . Plus généralement, la mesure de Lebesgue $\lambda_{2}\,$ d'un sous-ensemble borélien de $\R^{2}$ correspond à notre définition intuitive de l'aire : par exemple, la mesure de Lebesgue d'un disque de rayon $a \,$ est égale à : $\pi . a^{2}\,$ . De la même manière, si on considère l'espace $\R^{3}$ , la mesure de Lebesgue $\lambda_{3}\,$ sur cet espace correspond à notre définition intuitive du volume, et c'est donc sans surprise que la mesure de Lebesgue d'une boule de rayon $a \,$ vaut $\frac{4}{3} . \pi . a^{3}$ .