Facteur direct d'un module
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Soit M un A-module. Deux sous-modules N et P sont supplémentaires lorsque M est somme directe de N et P. Ceci équivaut évidemment à :
et 
Un sous-module N d'un A-module M est facteur direct s'il possède un supplémentaire.
[modifier] Propriétés
- Si N est un facteur direct de M, alors tous ses supplémentaires sont isomorphes au quotient M/N.
- Soit N un sous-module de M. Si M/N est libre, alors N est facteur direct.
- Pour que N soit facteur direct de M, il faut et il suffit qu'il existe un endomorphisme p de M (appelé projecteur) vérifiant les deux conditions suivantes :
- Soient F et S deux sous-modules d'un A-module M. Si S est simple, alors
ou 
.
- Pour qu'un A-module soit semi-simple, il faut et il suffit que tout ses sous-modules soient facteur direct.
