Colinéarité

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En géométrie vectorielle, deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement s'il existe un scalaire k tel que $\vec v = k\vec u$ ou $\vec u = k\vec v$ .

Étymologiquement, on remarque que colinéaire signifie sur une même ligne. En effet, en géométrie affine, deux vecteurs sont colinéaires si et seulement s'il existe deux représentants de ces vecteurs situés sur une même droite i.e. il existe trois points A, B, C alignés tels que

$\overrightarrow{AB} = \vec u$ et $\overrightarrow{AC} = \vec v$

La colinéarité est une notion importante en géométrie affine car elle permet de définir

l'alignement : les points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
le parallélisme de deux droites : les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires

On peut remarquer que le vecteur nul est colinéaire à tout autre vecteur de l'espace vectoriel.

Sur l'ensemble des vecteurs non nuls, la relation de colinéarité est

réflexive : un vecteur est colinéaire à lui-même
symétrique : Si un vecteur $\vec u$ est colinéaire à un vecteur $\vec v$ alors $\vec v$ est colinéaire à $\vec u$
transitive :Si un vecteur $\vec u$ est colinéaire à $\vec v$ et si $\vec v$ est colinéaire à $\vec w$ alors $\vec u$ est colinéaire à $\vec w$

Ce qui permet de dire que (sur l'ensemble des vecteurs non nuls) la relation de colinéarité est une relation d'équivalence dont les classes d'équivalence forment l'espace projectif associé à l'espace vectoriel

[modifier] Voir aussi

Articles d'algèbre linéaire générale
vecteur • scalaire • combinaison linéaire • espace vectoriel
famille de vecteurs		sous-espace
colinéarité • indépendance linéaire famille libre ou liée • rang famille génératrice • base théorème de la base incomplète		somme • somme directe supplémentaire dimension • codimension droite • plan • hyperplan
morphismes et notions relatives
application linéaire • noyau • conoyau • lemme des noyaux pseudo-inverse• théorème de factorisation • théorème du rang équation linéaire • système • élimination de Gauss-Jordan forme linéaire • espace dual • orthogonalité • base duale endomorphisme • valeur, vecteur, espace propres • spectre projecteur • symétrie • diagonalisable • nilpotent
en dimension finie
trace • déterminant • polynôme caractéristique polynôme d'endomorphisme • théorème de Cayley-Hamilton polynôme minimal • invariants de similitude réduction • réduction de Jordan • décomposition de Dunford
matrice
enrichissements de structure
norme • produit scalaire • forme quadratique • topologie orientation • multiplication • crochet de Lie • différentielle
développements
théorie des matrices • théorie des représentations analyse fonctionnelle • algèbre multilinéaire module sur un anneau