Conoyau
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En mathématiques, le conoyau d'un morphisme f : X → Y (par exemple un homomorphisme entre groupes ou bien un opérateur borné entre espaces de Hilbert) est la donné d'un objet Q et d'un morphisme q : Y → Q tel que la composition composition qof soit identiquement nulle, et de plus Q est, en un certain sens, le plus "gros" objet possédant cette propriété. Souvent l'application q est sous-entendue, et Q est lui-même appelé conoyau de f.
Les conoyaux sont les duaux des noyaux des catégories, d'où le nom.
En de nombreux cas d'algèbre générale, tel que les groupes abéliens, les espaces vectoriels ou les modules, le conoyau d'un homomorphisme f : X → Y est le quotient de Y par l'image de f. En termes topologiques, si on a un opérateur linéaire borné entre deux espaces de Hilbert, il faut alors prendre la clôture de l'image avant de passer au quotient. (voir aussi l'article court Conoyau d'une application linéaire)
[modifier] Définition formelle
On peut définir le conoyau dans le contexte général de la théorie des catégories. Pour que la définition ait un sens, il faut que la catégorie en question ait un morphisme nul. Le nonoyau d'un morphisme f : X → Y est défini comme coégaliseur de f et du morphisme nul 0XY : X → Y.
De manière explicite, Cela se traduit de la manière suivante. Le conoyau de f : X → Y est un objet Q pris avec un morphisme q : Y → Q tel que le diagramme
commute. De plus, le morphisme q doit être universel pour ce diagramme, c'est-à-dire que n'importe quel autre morphismes q′: Y → Q′ pour être obtenu en composant q avec un unique morphisme u : Q → Q′:
Comme toutes les constructions universelles, le conoyau, s'il existe, est unique à un isomorphisme près, ou plus précisemment: si q : Y → Q et q‘ : Y → Q‘ sont deux conoyaux de f : X → Y, alors il existe un unique isomorphisme u : Q → Q‘ avec q‘ = u q.
Comme tous les coégaliseurs, le conoyau q : Y → Q est nécessairement un épimorphisme. A l'inverse, un épimorphisme est appelé normal (ou conormal) s'il est le conoyau d'un morphisme. Une catégorie est appelée conormale si chaque épimorphisme est normal.
