Lagrangen mekaniikka

Wikipedia

Lagrangen mekaniikka on ranskalaisen matemaatikon Joseph Louis Lagrangen vuonna 1788 esittelemä vaihtoehtoinen lähestymistapa klassiseen mekaniikkaan. Lagrangen mekaniikka perustuu niin kutsuttuun pienimmän vaikutuksen periaatteeseen. Lagrangen lähestymistapa on koulufysiikasta tutusta newtonilaisesta lähestymistavasta riippumaton, ja Newtonin mekaniikan liikelait voidaankin johtaa Lagrangen formalismista.

[muokkaa] Eulerin–Lagrangen liikeyhtälö

Pienimmän vaikutuksen periaatteen mukaan systeemin aikakehitys tapahtuu niin, että vaikutusfunktioksi (engl. action) kutsuttu suure

$S = \int L dt$

on stationäärinen, mikä yleensä tarkoittaa lausekkeen minimoitumista. Vaikutusfunktion määritelmässä integraalin sisällä oleva funktio $L$ on systeemiä kuvaava Lagrangen funktio. Se voidaan lausua kappaleen liike-energian $T$ ja kappaleen potentiaalienergian $V$ avulla siten, että

$L = T - V\,$ .

Lagrangen funktio on siis kappaleen yleistettyjen paikkakoordinaattien $q_i\,$ (esimerkiksi $x$ , $y$ ja $z$ ) sekä vastaavien nopeusvektorin komponenttien $\dot{q}_i$ ja mahdollisesti myös ajan $t\,$ funktio. Variaatiolaskennan avulla on melko helppoa osoittaa, että vaikutusfunktio minimoituu vain ja ainoastaan silloin kun

$\frac{\partial L}{\partial q_i} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} = 0$ .

Tämä yhtälö on Eulerin–Lagrangen yhtälö ja se toimii kappaleen liikeyhtälönä. Käytännössä kappaleen liikkeen kuvaamista varten on siis ratkaistava toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä muodostuva yhtälöryhmä, jossa on yksi yhtälö kutakin koordiaattia varten (siis esimerkiksi normaalin kolmiulotteisen liikkeen tapauksessa kolme yhtälöä). Yhtälöryhmän ratkaisuna saadaan kappaleen avaruudessa kulkema rata ajan funktiona.

Lagrangen formalismin eräs suuri etu on, että systeemissä esiintyviä rajoitusvoimia ei tarvitse ottaa huomioon liikeyhtälöitä muodostettaessa. Lisäksi ei tarvita myöskään vektoreita, ja vapaasti valittavia koordinaatteja on vain systeemin todellisten vapausasteiden lukumäärä. Esimerkiksi perinteisen matemaattisen heilurin tilan kuvaamiseen tarvitaan todellisuudessa vain yksi koordinaatti (heilahduskulma), mutta Newtonin mekaniikan mukaan edettäessä joudutaan muodostamaan kaksi liikeyhtälöä. Lagrangen liikeyhtälöitä muodostettaessa ei tarvitse myöskään laskea kiihtyvyyksiä, vaan ainoastaan liike-energia. Monimutkaisemmissa systeemeissä Lagrangen formalismin edut ovat vielä huomattavasti selkeämmät. Lagrangen lähestymistapaa käytetäänkin usein lähtökohtana jatkuvan aineen mekaniikan tarkasteluissa.