Potentiaalienergia

Wikipedia

Potentiaalienergia eli asemaenergia kuvaa kappaleen kykyä tehdä työtä asemansa ansiosta. Potentiaalienergiasta puhutaan, kun kappaletta siirrettäessä on tehty työtä konservatiivista voimaa vastaan. Konservatiivisia eli säilyttäviä voimia ovat muun muassa gravitaatiovoima ja jousivoima. Tällöin kappaleen siirtämisessä tehty työ on muuntunut potentiaalienergiaksi.

Esimerkiksi kun kappale nostetaan pöydälle, energian säilymislain mukaisesti kappaleelle annettu kineettinen energia muuttuu Maan konservatiivisessa gravitaatiokentässä kappaleen potentiaalienergiaksi, joka taas muuttuu takaisin kineettiseksi energiaksi kappaleen pudotessa pöydältä.

Kappaleen potentiaalienergian muutoksia tarkasteltaessa on aina sovittava taso, jossa potentiaalienergia on nolla (esim. lattia). Potentiaalienergian tunnus on E_p tai U.

Yleisesti potentiaalienergia määritellään samoin kuin mekaaninen työ pisteestä A pisteeseen B:

$W_S = \int_{S}^{}\mathbf{F}\,\mathbf{ds}.$

Mekaanisen työn tapauksessa työn määrä riippuu käytetystä reitistä, joten voima olisi integroitava kyseistä reittiä pitkin. Konservatiivisessa voimakentässä päästään helpommalla, koska vastustavaa konservatiivista voimaa, esimerkiksi Maan painovoimaa, vastaan tehty työ määräytyy suoraan alku- ja lopputilan perusteella. Siksi kirjoitetaan

$\Delta E_p = \int_{r_0}^{r}F\,dr,$ missä

$\mathbf{E_p}$ = potentiaalienergia
$\mathbf{F}$ = vastustava konservatiivinen voima
$\mathbf{r_0}$ = reitin alkupisteen etäisyys potentiaalikentän keskuksesta
$\mathbf{r}$ = reitin loppupiste

[muokkaa] Gravitaatiokenttä

Gravitaatiokentässä kappaleeseen vaikuttaa gravitaatiovoima, jonka suuruus lasketaan empiirisen yhtälön avulla seuraavasti:

$\mathbf{F} = \phi \cdot \frac{m_1 m_2}{r^2} = (\phi \frac{m_1}{r^2})\cdot m_2 = m_2 g$ , missä

$\mathbf{F}$ = gravitaatiovoima kappaleiden 1 ja 2 välillä
$\mathbf{r}$ = kappaleiden välinen etäisyys
$\mathbf{\phi}$ = kokeellinen gravitaatiovakio ≈ $6,67 \cdot 10^-11 \frac{N^2 m^2}{kg^2}$
$\mathbf{g}$ = putoamiskiihtyvyys

Potentiaalienergian muutos esimerkiksi Maan gravitaatiokentässä on siten

$\Delta E_p = \int_{r_0}^{r}F(r)\,dr = \int_{r_1}^{r}\phi \cdot \frac{m M}{r^2}\,dr = -\phi \cdot m M \cdot (\frac{1}{r} - \frac{1}{r_0}) = m\int_{r_0}^{r}g(r)\,dr.$

[muokkaa] $\mathbf{E_p}$ = mgh

Riittävän pienillä matkoilla putoamiskiihtyvyys $\mathbf{g}$ on jossakin määrin vakio, eli sen muutokset eivät ole merkittäviä. Jos siis oletetaan, että kohtuullisilla siirtymillä putoamiskiihtyvyys todella käyttäytyy kuin vakio, voidaan kappaleen potentiaalienergiassa tapahtuvaa muutosta approksimoida seuraavasti:

$\Delta E_p = m\int_{h_0}^{h}g(h)\,dh = mg\int_{h_0}^{h}\,dh = mgh - mgh_0,$ missä

$\mathbf{m}$ = siirrettävän kappaleen massa
$\mathbf{g}$ = keskimääräinen putoamiskiihtyvyys sillä korkeudella, jolla kappaletta siirretään (Maan pinnan lähellä noin 9,81 ms^-2)
$\mathbf{h}$ = kappaleen korkeus eli etäisyys niin sanotun vertailutason, nollapotentiaalin, suhteen.

Todella suurilla korkeuseroilla, kuten lennätettäessä rakettia avaruuteen, putoamiskiihtyvyyden arvon muutokset ovat jo niin merkittäviä, ettei potentiaalienergiaa voi enää äskeisellä tavalla approksimoida. Yleensä tämän pelkistetyn kaavan soveltaminen laskuissa antaa kuitenkin riittävän tarkkoja tuloksia.