Cuadrivelocidad

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La cuadrivelocidad es una magnitud vectorial asociada al movimiento de una partícula, usada en el contexto de la teoría de la relatividad, que es tangente a la trayectoria de dicha partícula a través del espacio-tiempo cuatridimiensional.

[editar] Relación entre velocidad y cuadrivelocidad

De la misma manera que la velocidad $\mathbf{v}$ en mecánica newtoniana es la derivada temporal de la posición respecto al tiempo, en la teoría de la relatividad la cuadrivelocidad $\mathbf{V}$ es la derivada temporal de las coordenadas de posición respecto al tiempo propio de la partícula:

(1) $V^i = \frac{dx^i}{d\tau}$

Dada la relación entre el tiempo coordenado y el tiempo propio el cuadrivector velocidad viene dado por:

$\mathbf{V} = (\gamma c; \gamma v_x, \gamma v_y, \gamma v_z) = \left( \frac{c}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} ; \frac{\mathbf{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right) \in \R\times\R^3$

Donde $\mathbf{v} = (v_x, v_y, v_z)$ es la velocidad newtoniana convencional y $\gamma \,$ es el factor de Lorentz. Es importante notar que el "módulo" de dicha velocidad, es constante debido a que:

$|\mathbf{V}| := \sqrt{-g(\mathbf{V},\mathbf{V})} = \sqrt{-\eta_{\alpha\beta}V^\alpha V^\beta} = \sqrt{- \gamma^2(-c^2 + v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)} = c\sqrt{\frac{1-\frac{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}{c^2}}{1-\frac{v^2}{c^2}}}= c$

[editar] Relaciones con otras magnitudes

Análogamente a lo que sucede en mecánica newtoniana, donde la cantidad de movimiento y la velocidad son dos vectores proporcionales, en mecánica relativista sus análogos el cuadrimomento y la cuadrivelocidad son dos vectores que difieren sólo en una constante de proporcionalidad, que se identifica con la masa en reposo:

$\mathbf{P} = m\mathbf{V} = \left(\frac{E}{c}; p_x, p_y, p_z \right) = \left( \frac{mc}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} ; \frac{m\mathbf{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right)$