Diskussion:Ordnungsrelation

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Inhaltsverzeichnis 1 strenge Totalordnung 2 Halbordnung: Reflexiv vs. Irreflexiv 3 totale Ordnung 4 Unklare Beispiele für "Wohlordnung" 5 Wohlordnungsdefinition 6 Verschieben nach Ordnungsrelation 7 stimmt das wirklich? 8 Links auf Ordnungstopologie 9 !!! Anschaulichkeit?  !!! 10 Induktive Ordnung

[Bearbeiten] strenge Totalordnung

Ich kenne keine Relation die zugleich total und irreflexiv ist. Die Definition von strenger Totalordnung lautet in Relation (Mathematik) daher auch anders. Ich schlage vor, die Eigenschaft total durch trichotomisch zu ersetzen (vgl. Diskussion:Relation (Mathematik)). --Sledge 16:45, 24. Jul 2004 (CEST)

Bei dem Beitrag zu totale Ordnung (siehe weiter unten) ist mir übrigens aufgefallen, dass natürlich die leere Relation auch total und irreflexiv ist. Als Begründung bei der Definition von strenger Totalordnung wieder den Begriff total zu Benutzen reicht das natürlich nicht aus. Ich erwähne dass nur der Vollständigkeit halber, um die obige Aussage nicht einfach so stehen zu lassen. Sledge 21:11, 1. Feb 2005 (CET)

Was ist denn nun eine Totale Ordnung? "eine totale oder lineare Ordnung ist eine totale (auch linear genannte) Halbordnung." hilft überhaupt nicht, wenn man nicht weiß, was eine totale oder lineare Halbordnung ist.--82.82.234.187 00:25, 13. Jan 2005 (CET)

Ah, habs verstanden, der Begriff "total" wird in Relation (Mathematik) definiert. Vielleicht nicht sonderlich intuitiv... --82.82.234.187 00:31, 13. Jan 2005 (CET)

Danke, Sledge, für die Änderung meiner Änderung gestern :). So ist es wirklich besser, einfach auf "total" in Relation zu verweisen. Gestern war es allerdings sehr verwirrend, und offensichtlich war diese Verwirrung schon öfter aufgetreten, wie ich erst jetzt sehe. 10:05, 30. Maerz 2005 (CET) --Doegi

[Bearbeiten] Halbordnung: Reflexiv vs. Irreflexiv

Hallo,

gerade wollte ich den Text in irreflexiv ändern, da habe ich gesehen, dass dies schon geschehen ist und wieder rückgängig gemacht wurde.

Es scheint von Professor zu Professor unterschiedlich zu sein. Dieses Jahr wurde in "Mathematische Logik" an der RWTH von Professor Grädel gelehrt, dass eine Halbordnung irrefelxiv zu sein hat. Siehe auch http://www-mgi.informatik.rwth-aachen.de/Teaching/MaLo-WS04/kap2.ps Seite 30.

Vielleicht sollte nach einer Prüfung übernommen werden, dass beide Möglichkeiten bestehen - je nach Definition.

Stefan Heukamp

Die Definitionen in dem zitierten Skript stimmen mit den im Artikel angegebenen Definitionen für strenge Halbordnung bzw. strenge Totalordnung überein. Offenbar ist eine uneinheitliche Definition sowohl für das Begriffspaar "total/partiell" als auch für das Begriffspaar "streng/nicht streng" üblich. Einen Hinweis auf den ersten Konflikt gibt es ja bereits im Artikel (auch wenn ich mir nicht sicher bin, ob ich diesen verstehe) und ein Hinweis auf den zweiten Konflikt kann sicher nicht schaden.

Außerdem würde mich mal interessieren, warum außgerechnet bei dem Begriff "Ordnung" so grundsätzlich verschiedene Definitionen verbreitet sind. Vielleich weis ja jemand genaueres über den Hintergrund dieser Entwicklung. Andererseits - als ich noch bei meinen Eltern gewohnt habe, hatten meine Mutter und ich auch immer unterschiedliche Vorstellungen von "Ordnung". Scheint also völlig normal zu sein hier verschiedene Definitionen zu benutzen :-)

Sledge 20:24, 27. Jan 2005 (CET)

Hallo, warum geht man nicht einfach hin und definiert eine Halbordnung als transitive antisymmetrische Relation? Also ohne festzulegen, ob sie reflexiv oder irreflexiv sein muß. Dann könnte man doch zusätzlich von reflexiver / irreflexiven Halbordnungen als Spezialfällen sprechen, oder?

[Bearbeiten] totale Ordnung

Reflexivität und Trichotomie vertragen sich nicht besonders gut, weil Reflexivität verlangt, dass gleiche Elemente stets in Relation zueinander stehen, Trichotomie dies aber gerade ausschließt. Die Änderungen von 217.236.194.75 an der Definition von totale Ordnung finde ich daher etwas unglücklich. Lediglich die leere Relation ist zugleich reflexiv und trichotomisch und erfüllt damit die Definition. So passt nun auch das Beispiel mit den ganzen Zahlen nicht mehr zu der Definition, da 1 = 1 und ist, die Trichotomie aber höchstens einen dieser Fälle zulässt. Kurz: Mir gefiel die alte Definition besser, die ich denn auch gleich wieder herstelle... Sledge 20:58, 1. Feb 2005 (CET)

[Bearbeiten] Unklare Beispiele für "Wohlordnung"

"eine Wohlordnung ist eine totale Ordnung, bei der jede nichtleere Teilmenge ein kleinstes Element besitzt.

   Bsp: "Kleinergleich" auf N.
   Bsp: Z mit der Ordnung 0 < 1 < -1 < 2 < -2 < 3 < -3 < ... ."

Hm - 2 Beispiele, 2 Fragen:

1. bzgl. N - wirklich "Kleinergleich" und nicht "kleiner als"?

2. bzgl. Z - falls es korrekt ist, finde ich als Nichtmathematiker das 2. Beispiel für Wohlordnung unglücklich gewählt.

Aus meiner naiven Sicht fehlt da mindestens eine Betragsfunktion. Beim besten Willen: 1 ist nicht kleiner -1 und 2 nicht kleiner -2 etc.

Wie soll das irgendjemand helfen, zu verstehen, was gemeint sein könnte? Und ist nicht diese Verwendung von Z mit Null als (angeblich) 'kleinsten' Element lediglich eine Abbildung von Z in N (mit Null), was dann analog dem Beispiel 1 wäre und somit hier überhaupt keinen Erkenntnisgewinn bringen kann? --84.59.65.173 15:10, 13. Apr 2005 (CEST)

Auf wird eine neue Ordnung definiert, wie angegeben. Das kleiner-Zeichen hat hier nichts mit dem gewöhnlichen kleiner zu tun.--MKI 15:14, 13. Apr 2005 (CEST)

Ach das soll eine Definition sein? Dann ist's (wäre's) OK und auch die Ursache der Unklarheit gefunden. 84.59.66.56 16:14, 17. Apr 2005 (CEST)

[Bearbeiten] Wohlordnungsdefinition

Müßte es nicht heißen: Eine total geordnete Menge ist wohlgeordnet, falls für jede Teilmenge ein kleinstes Element existiert?

Denn die Teilmenge der Ordnung ist eine Menge von Paaren aus (s. o.). Wenn diese ein kleistes Element haben soll, dann müßte sie wiederum geordnet sein. Das ergibt keinen Sinn.

[Bearbeiten] Verschieben nach Ordnungsrelation

Da dieser Artikel nicht nur die Halbordnung beschreibt, wäre er unter dem Lemma Ordnungsrelation besser aufgehoben. Gibt es Gegenargumente? Da auch Ordnungsrelation eine längere Versionsgeschichte hat, könnte man auch eine Cut@Paste-Verschiebung machen. Meinungen? --Siehe-auch-Löscher 11:41, 21. Jul 2005 (CEST)

Meiner Meinung nach sollte Halbordnung dabei aber ein selbständiger Artikel bleiben. Z.B. ist die Unterscheidung zwischen "größte" und "maximal" nur für Halbordnungen relevant.--Gunther 12:03, 21. Jul 2005 (CEST)

Der Artikel ist überschaubar, so dass IMHO nichts ausgelagert werden muss. Insbesondere sollten Begriffe wie Totalordnung und Halbordnung in einem Absatz beschrieben werden, da beispielsweise die genannten Begriffe auch dort relevant sind, insofern dass die Totalordnung einer endlichen Menge immer ein größtes, aber keine maximalen Elemente enthält. Eine Fragmentierung führt da eher zu Redundanz und Unübersichtlichkeit. --Siehe-auch-Löscher 13:48, 21. Jul 2005 (CEST)

In einer totalgeordneten Menge sind die Begriffe "maximales Element" und "größtes" Element äquivalent. Eine endliche totalgeordnete Menge besitzt immer ein eindeutig bestimmtes maximales = größtes Element. Eine endliche teilgeordnete Menge besitzt immer maximale Elemente, aber nicht notwendigerweise ein größtes Element. (Beweise bzw. Beispiele auf Anfrage.)

Deshalb ist die Unterscheidung nur für Teilordnungen relevant.--Gunther 14:04, 21. Jul 2005 (CEST)

So rum ist es richtig, ich hatte die Definition gerade falsch gelesen, so dass maximales und größtes Element disjunkt sind. Trotzdem halte ich es für richtig die Ordnungsrelationen in einem Artikel zu bechreiben, denn genau die Unterschiede zwischen den Ordnungsrelationen sind für das Verständnis wichtig. Wer die Halbordnung verstanden hat, versteht auch gleichzeitig die Totalordnung und umgekehrt. --Siehe-auch-Löscher 14:49, 21. Jul 2005 (CEST)

Es sollte im Artikel noch herauskommen, dass Teilordnung und Totalordnung die wichtigen Begriffe sind. Wohlordnungen haben ja schon ihren eigenen Artikel, Verbände sind mehr als nur geordnete Mengen, und alles andere ist Exotik.--Gunther 14:57, 21. Jul 2005 (CEST)

Auch die Wohlordnung hätte hier noch gut Platz. Und die wichtigen Begriffe erkennt man eventuell dann an der Länge der Absätze. Aber wo Du es gerad sagst. Auch bei der Wohlordnung treten deine Begriffe wieder auf, nämlich in der Form, dass zwar ein kleinstes, aber kein größtes Element existiert. Ich werde morgen mal am Artikel weiterarbeiten. --Siehe-auch-Löscher 15:05, 21. Jul 2005 (CEST)

Ich halte nichts von Mammutartikeln, in denen man dann nach dem gewünschten Begriff suchen muss. Da Wohlordnungen Totalordnungen sind, ist die Unterscheidung kleinst/minimal wiederum irrelevant. Ich möchte auch Deiner obigen Aussage "Wer die Halbordnung verstanden hat, versteht auch gleichzeitig die Totalordnung und umgekehrt." widersprechen. Wer nur Totalordnungen kennt, hat keine Ahnung von Halbordnungen.--Gunther 15:21, 21. Jul 2005 (CEST)

Ich habe auch nichts gegen aufgeräumte Artikel, aber so wie er im Moment aussieht kann er nicht bleiben. Das Lemma heisst Halbordnung und der Artikel beginnt mit In der Mathematik sind Ordnungsrelationen .... Ich werde noch etwas abwarten und wenn die Artikel dann nicht getrennt werden, muss ich sie halt zum Oberbegriff verschieben. --Siehe-auch-Löscher 15:31, 21. Jul 2005 (CEST)

[Bearbeiten] stimmt das wirklich?

"Eine (totale) Ordnung auf einer Menge liefert eine Anordnung der Elemente in einer bestimmten Reihenfolge, z. ..." ? ** Hiesigen Erachtens verlangt die totale Ordnung nur, dass zwei beliebige Elemente vergleichbar sind, das ist viel weniger; wie perlen auf einer Kette anordnen kann man sie deswegen nicht.

Das Bild ist natürlich in gewissen Punkten falsch (wie jedes Bild), alle mir bislang begegneten Perlenketten hatten beispielsweise nur endlich viele Perlen. Ich finde das Bild trotzdem praktisch.--Gunther 11:37, 25. Aug 2005 (CEST)

2. Versuch: "Reihenfolge" antwortet auf die Frage: "Wer ist der Nächste". "Totale Ordnung" auf die Frage: "Wer von euch beiden ist größer?" Ich halte das Bild für unpraktisch, weil es von einem wesentlichen Inhalt der definition ablenkt, es ist irritierend.

Das bild der Kette kann auch noch bei unendlich vielen perlen in Ornung sein, so ist ja die folge definiert.

Evtl. müsste man auch noch bei "reihenfolge" schärfer hin kucken.

Was nützt "praktisch", wenn "in gewissen Punkten falsch" ?

Vielleicht habe ich von einem Nachschlagewerke aber eine andere Vorstellung als Du.

Wenn ich bei "Reihenfolge" stattdessen frage: "Wer von Euch beiden war früher im Ziel?", dann bin ich wieder bei der Ordnung. Da "Reihenfolge" kein mathematischer Begriff ist, muss jeder seine persönliche Vorstellung von Reihenfolge mit dem mathematischen Begriff abgleichen. Solange man sich dessen bewusst ist, in welchen Punkten ein Bild falsch ist, kann es trotzdem nützlich sein. Wohl kaum jemand kann sich vierdimensionale Objekte vorstellen, aber die Vorstellung niedrigerdimensionaler Entsprechungen ist (mit der nötigen Sorgfalt) für viele Fälle ausreichend.--Gunther 12:10, 25. Aug 2005 (CEST)

"Wenn ich bei "Reihenfolge" stattdessen frage: "Wer von Euch beiden war früher im Ziel?", dann bin ich wieder bei der Ordnung. " kein Wunder, der Unterschied zeigt sich ja nicht bei endlichen Mengen.

[Bearbeiten] Links auf Ordnungstopologie

Hallo,

im Artikel Ordnungstopologie habe ich topologienahe Begriffe wie diskret, dicht, ordnungsvollständig für Ordnungen eingebaut. Der Artikel bezieht sich für den Begriff "strikt totalgeordnet" via Link auf diesen Artikel hier.

1. Will jemand hier sinnvolle Links auf die genannten Begriffe einführen?
2. Würde mich jemand (zum Beispiel auf meiner Diskussionsseite warnen, wenn sich in den hier benutzten Begriffen Wesentliches ändert?

Die Begriffsverwirrung, die hier in der disku anklingt, kann ich mir (Achtung Theoriefindung!) ganz gut so erklären:

• Ordnungen tauchen fast überall in Mathe irgendwann mal auf.
• In vielen Bereichen der Mathe haben die Wortbausteine, mit denen hier operiert wird ("total", "strikt", "Halb-"...) schon einen gewissen "Beigeschmack" der eine bestimmte Bedeutung für Ordnungen nahelegt.
• Für Mathematiker, bei denen der strukturelle Aspekt deutlich vor dem begrifflichen rangiert (also Anti-Enzyklopädisten ;-)) sind Ordnungen, die sich gegenseitig natürlich bedingen („<“ und „<=“) fast wurschtegal zu bezeichnen und kaum zu unterscheiden.

Daraus folgt ein utopischer Rat: Forschen, was in den Teildisziplinen Usus ist und dann auseinanderfieseln: Im Zusammenhang mit Beweisen mit Hilfe des Auswahlaxioms (außer es handelt sich um Algebraische Zusammenhänge) bedeutet Halbordnung ... Ich überzeichne, aber, im Ernst, so geht's wohl nicht, aber ich hab mal in eine gewisse Richtung gestubst. --KleinKlio 21:10, 12. Okt. 2006 (CEST)

P.S.: Sehe gerade dass "strike Totalordnung" hier "strenge Totalordnung" heißt. Also - helft mir bei 2. oben, bitte. --KleinKlio 21:27, 12. Okt. 2006 (CEST)

[Bearbeiten]  !!! Anschaulichkeit?  !!!

Hi,

wäre es vielleicht möglich, einige der Begriffe mit anschaulichen Beispielen zu verdeutlichen? Die formalen Definitionen sind zwar notwendig, aber für einen Nicht-Mathematiker (z.B. mich) nicht immer hinreichend. Ist mir bei der Halbordnung aufgefallen. Hinterher war ich im Prinzip nicht schlauer als vorher. Und nachgeguckt hatte ich, um zu einem anschaulichen Verständnis zu gelangen. Es gibt bei der Halbordnung zwar das Beispiel mit der Teilmengenbeziehung. Dort wird das Beispiel aber nur formal "erläutert", womit der Sinn des Beispiels (Veranschaulichung) irgendwo ad absurdum geführt wird. Weiterhelfen würden (mir) Erklärungen mit Begriffen, die eben nicht auf die formale Definition zurückgreifen. Falls ich die Halbordnung jetzt überhaupt richtig verstanden habe (durch selbst Zusammenreimen), dann zeichnet sich eine Halbordnung dadurch aus, daß man eine Ordnungrelation nur zwischen einigen, aber eben nicht allen Elementen einer halbgeordneten Menge herstellen kann, d.h. die Ordnung zwischen einigen Elementen ist undefiniert (und zwar selbst nach Auswertung aller transitiven Beziehungen). Ist das so richtig? Ich fände ich es gut, so einen oder einen ähnlichen Satz zur Veranschaulichung der Halbordung und ggf. weiterer Begriffe mit einzubauen. Hilft Nicht-Mathematikern unendlich viel mehr weiter! Danke für die Aufmerksamkeit! --85.16.15.143 14:42, 3. Nov. 2006 (CET)

Übrigens (gerade erst gesehen), einen Begriff zu definieren, indem man auf die Definition eines davon abgeleiteten Begriffs verweist (wie bei der Definition der Ordnung hier geschehen), ist nicht sinnvoll, weil verwirrend, ggf. uneindeutig, und außerdem unnötig umständlich. Umgekehrt kann man das schon eher machen. --85.16.15.143 14:48, 3. Nov. 2006 (CET)

[Bearbeiten] Induktive Ordnung

In "Mengentheoretische Topologie" definiert B.v. Querenburg den Begriff induktiv geordnet:

Eine geordnete Menge (A, ≤) heißt induktiv geordnet, wenn jede linear geordnete Teilmenge von A eine obere Schranke besitzt.

Ist das ein allgemein üblicher Begriff und sollten wir ihn ergänzen? --Drizzd 18:21, 14. Mai 2007 (CEST)