Diskussion:Relation (Mathematik)

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Inhaltsverzeichnis 1 inverse Relation 2 Begriffe, Eigenschaften 3 "binäre" zweistellige Relation 4 eigener Artikel "binäre Relation" 5 Schreibweise "a R b" vs. "(a,b) in R" 6 intransitiv 7 linkseindeutig oder rechtseindeutig? 8 Rechts-/Linkstotal 9 Fuzzy Logic? 10 Korrespondenz 11 Surjektiv und Injektiv 12 Bildwarnung 13 Eigenschaften für B=A und andere 14 Antitransitivität 15 Eine Relation ist

[Bearbeiten] inverse Relation

Wüsste gerne mehr darüber.

die relation im allgemeinen ist ja wohl eine n-stellige, d.h. das kartesische produkt von n mengen, mh? n kann dabei auch gleich 1 werden. siehe die englische seite. hier werden bisher nur die binaeren rel. behandelt. ausserdem erscheint mir der schriftzug A=B etwas freizuegig herumkopiert worden zu sein kakau 20:57, 5. Mär 2003 (CET)

[Bearbeiten] Begriffe, Eigenschaften

Können wir uns endlich mal einigen, was die Begriffe bedeuten?

Die Eigenschaft

∀ a,b ∈ A: a R b ∨ b R a

heißt also total. Nennt man das außerdem linear?

Nebenbei besagt diese Aussage genau "Je zwei Elemente stehen in Relation" und nicht "Mindestens 1 Paar steht in Relation". (Werd das zurückändern.)

Die Eigenschaft

∀ a,b: entweder a R b oder b R a

heißt also alternativ. Nennt man das außerdem linear?

Kku setzt "alternativ" = "linear", 141.76.119.52 setzt "total" = "linear". Was ist nun gebräuchlich? Beides? --SirJective 21:06, 9. Dez 2003 (CET)

In diesem Zusammenhang ist mir der Begriff "trichotomisch" bekannt:

Auf diese Weise könnten wir eine strenge Totalordnung durch die Eigenschaften transitiv, irreflexiv und trichotomisch beschreiben. --Sledge 16:37, 24. Jul 2004 (CEST)

Hallo Sledge, die Trichotomie-Eigenschaft würde ich mit einem exklusiven Oder versehen. In Kombination mit trans. und irref. müsste die Exklusivität aber folgen, oder? --SirJective 10:33, 25. Jul 2004 (CEST)

Genau, zusammen mit der Irreflexivität und Transitivität folgt die Exklusivität der drei Bedingungen. Daher bin ich mir auch nicht so sicher, ob man die Eigenschaft so stark formulieren sollte, dass hier eine Redundanz entsteht. Andererseits sollte die Eigenschaft auch zu dem Begriff "trichotomisch" passen. Leider kenne ich dessen Herkunft nicht so genau. Die Bedeutung ist wohl "dreigliedrig", was eine Exklusivität möglicherweise nahelegt. Ich versuche nochmal nachzuforschen, ob ich die Eigenschaft hier korrekt wiedergegeben habe. --Sledge 11:41, 25. Jul 2004 (CEST)

Die Formulierung ist in Kombination mit den anderen beiden Bedingungen nicht so stark nötig, aber den Namen "Trichotomie" würd ich schon der starken Bedingung (mit exklusivem Oder) geben. Siehe auch Trichotomie. ;-) Dieser (im März von mir erstellte) Artikel ist natürlich nicht verbindlich, es wäre also wünschenswert, eine Literaturquelle zu haben. --SirJective 14:31, 25. Jul 2004 (CEST)

Hmm *räusper*, ich habe den Begriff natürlich in Wikipedia gesucht, aber lass' uns bitte nicht näher darauf eingehen, warum ich ihn nicht gefunden habe... %-)

Leider konnte ich die Quelle nicht mehr ausfindig machen, in dem ich den Begriff mal aufgeschnappt habe, nach eingehender Überlegung bin ich aber der Meinung, dass man die Exklusivität fordern sollte. --Sledge 21:00, 25. Jul 2004 (CEST)

[Bearbeiten] "binäre" zweistellige Relation

Im letzten Absatz der Einleitung findet sich folgende Formulierung: »[...] eine "zweistellige" oder "binäre" Relation, also eine Beziehung zwischen je zwei Dingen.« Das "je" ist meiner Ansicht nach überflüssig und wirkt etwas verwirrend -- es bezieht sich ja nicht auf zwei Dinge die mit zwei anderen in Relation stehen, sondern je Relation stehen zwei Dinge in Bezug. Es könnte also genauer heißen »[...], also eine Beziehung zwischen je zwei Dingen pro Relation«  Dann könnten wir das je aber auch weglassen, oder irre hier bzw. sieht das jemand ähnlich? (Lo)

@Weialawaga: Bisher meinte das "binär" bei der Relation "zweistellig", "ternär" wäre "dreistellig" usw. Du hast dem eine neue Bedeutung gegeben, die ich erstmal hinterfragen muss. Du scheinst mit "binär" zu meinen, dass es für Elemente a und b nur die Möglichkeiten "a R b" und "nicht a R b" gibt. Kannst du mir bitte ein Beispiel einer "nicht binären" zweistelligen Relation in der Mathematik nennen? --SirJective 16:15, 21. Mär 2004 (CET)

Sir, Sie haben recht. Ich hatte den vorgefundenen Text falsch interpretiert. Habe nun sowohl meine Einleitung umgeschrieben, als auch im weiteren Verlauf die mindestens missverständliche Doppelung "zweistellig binär" eliminiert. -- Weialawaga 00:25, 22. Mär 2004 (CET)

Ich finde, diese Einleitung ist dir sehr gut gelungen! --SirJective 20:31, 22. Mär 2004 (CET)

[Bearbeiten] eigener Artikel "binäre Relation"

Die englische Wikipedia hat eine Seite über Relationen im Allgemeinen (k-stellige) und eine spezielle Seite für binäre Relationen, da diese in Mathematik und vielen angewandten Wissenschaften aufgrund der dort möglichen Operatoren besonders bedeutend sind. Ich halte diese Trennung für sinnvoll, da man meistens in Anwendungen eher den allgemeinen Fall oder speziell den binären Fall betrachtet. Das meiste, was in diesem Artikel gesagt wurde, vor allem die Eigenschaften, beziehen sich ohnehin auf zweistellige Eigenschaften.

Außerdem vermisse ich leider die Erwähnung von Operatoren wie Komposition, Konverser Relation: R^{-1} oder R^\smile =\{(x,y)| (y,x) \in R\}, join,... Für die meisten Operatoren genügt eine kurze Erwähnung und ein Link auf die entsprechende Seite, z. B. relationale Algebra, die dann auch auf der Seite "binäre Relationen" Eingang finden sollten.(Alex, emailalex@web.de, 21.1.06)

[Bearbeiten] Schreibweise "a R b" vs. "(a,b) in R"

Ich bin mit der Änderung von 80.133.125.117 nicht einverstanden.

Zwar wird eine Relation in diesem Artikel als Menge von Tupeln definiert, so dass formal die Schreibung "(a,b) in R" zu verwenden ist, üblicherweise werden Relationen jedoch mit Relationszeichen statt Buchstaben bezeichnet, und in Infix-Notation benutzt: Man schreibt meist "a < b" und nicht "(a,b) in <" für eine Ordnung, und "a ~ b" statt "(a,b) in ~" für Äquivalenzrelationen.

Wenn ich also eine Relation ausnahmsweise R nenne, dann schreibe ich trotzdem "a R b" statt "(a,b) in R", um auszudrücken: "a steht in Relation R zu b".

Welche Meinungen habt ihr dazu? --SirJective 18:16, 3. Jul 2004 (CEST)

korrekt ist beides, lesbarer ist a R b. -- Weialawaga 19:36, 3. Jul 2004 (CEST)

Ich bin neulich über diese Notation gestolpert (aRb) und sie scheint die gebräuchliche in der Literatur zu sein (als Beispiel der Bronstein). Trotz allem ist sie nichts anders als fürchterlich: R ist ja zunächst eine Menge. aRb dann als Relation zu definieren ist völlig unintuitiv. Viel besser wäre: . Allerdings sind wir nicht hier, um neue Notationen zu kreieren, insofern... --DaTroll 00:04, 5. Jul 2004 (CEST)

Mir sind alle drei Schreibweisen geläufig: a R b und (a,b) \in R und R(a,b), und zwar oft je nachdem, of man mehr an eine bestimmte Art von Relation denkt a R b wird vor allem für transitive Relationen verwendet und für solche, die miteinander assoziativ komponiert werden sollen. (a,b) \in R wird verwendet, wenn der Mengencharakter wichtig ist, und R(a,b) wenn der funktionale Charakter verwendet werden soll, oder in der math. Logik. In meinem Arbeitsgebiet ist die Notation a R b am gebräuchlichsten, da R meist für Verallgemeinerungen von < und = steht. Vielleicht könnte man auf diese Unterschiede hinweisen. (Alex, emailalex@web.de, 21.1.06)

[Bearbeiten] intransitiv

Tja, Verneinung war schon immer ein schwieriges Thema. Trotzdem bin ich mir ziemlich sicher, dass die Definition von intransitiv so wie sie aktuell angegeben ist, falsch ist. Zumindest, wenn "intransitiv" das gleiche wie "nicht transitiv" bedeuten soll. Mit ein wenig Unterstützung von de Morgan und Formeln über Quantoren und Implikation komme ich zumindest zu dem Schluß, dass

äquivalent ist zu

Obwohl in der Formel mehr als zwei Variablen vorkommen, bin ich mir sicher genug, um die entsprechende Formel im Artikel mal zu korrigieren - zumindest, bis mich jemand Lügen straft. --Sledge 00:21, 25. Sep 2004 (CEST)

Du hast völlig recht mit der Formeländerung. --SirJective 00:50, 25. Sep 2004 (CEST)

[Bearbeiten] linkseindeutig oder rechtseindeutig?

Im Artikel steht: "Man könnte also auch R(a,b) für den Ausdruck der Relation schreiben. Umgekehrt kann man aber auch eine Funktion als eine spezielle (nämlich als eine linkstotale und rechtseindeutige) Relation auffassen (siehe unten)."

An allen anderen Stellen (auch beim Artikel Funktion) steht, dass eine Funktion eine linkseindeutige Relation sei. Danke fuer die Aufklaerung! --Stefan, 27. Okt 04, 19:30

Verstehe. Die Frage ist also, ob die Eigenschaft

"Kein El. aus A hat mehr als einen Partner in B"

(gleichbedeutend mit)

"Jedem x-Wert aus dem Definitionsbereich wird nur ein y-Wert zugeordnet."

als "linkseindeutig" oder als "rechtseindeutig" zu bezeichnen ist. In meinen Mathematik-Vorlesungen wurde diese Eigenschaft gar nicht separat benannt, ich kenne diese Begriffe Links/Rechts-Totalität und Links/Rechts-Eindeutigkeit nur von befreundeten Informatikstudenten, die es selbst nicht verstanden hatten.

Das Englische scheint hier auch keine Hilfe zu sein, da ich diese Eigenschaft dort als "functional" finde, und die umgedrehte Eigenschaft als "injective", ebenso wie dort "total" und "surjective" ein Eigenschaftspaar bilden, das im Deutschen als links- bzw. rechtstotal bezeichnet wird.

Es müsste also bitte jemand ein geeignetes Lehrbuch zitieren. --SirJective 14:36, 28. Okt 2004 (CEST)

Also ein Lehrbuch habe ich im Moment nicht zur Hand, dafür bin ich mir aber sehr sicher, dass eine Funktion linkstotal und rechtseindeutig ist - sicher genug, um den Aktikel Funktion entsprechend zu korrigieren. Zu linkstotal und rechtseindeutig sagt man auch vordefiniert und nacheindeutig, weil sich nämlich die Vollständigkeit auf der linken Seite - dem Vorbereich der Relation abspielt und die Eindeutigkeit auf der rechten Seite - dem Nachbereich. --Sledge 22:15, 28. Okt 2004 (CEST)

[Bearbeiten] Rechts-/Linkstotal

sind eigentlich keine Eigenschaften von Relationen selbst, sondern von Relationen zusammen mit Mengen A und B. Die Relation selbst weiss ja nichts von A und B. (Vgl. aktuelle Änderungen an Funktion (Mathematik).--Gunther 23:21, 13. Mär 2005 (CET)

Das ist richtig, trifft aber auf jede "Relationseigenschaft" zu, welche die Mengen A und B benutzt (also jede der beschriebenen Eigenschaften). Präziser müssten die Eigenschaften wie folgt beschrieben werden: "Eine Relation R heißt ... auf A x B gdw. ...". Meist ist aus dem Kontext aber klar, welche Mengen A und B gemeint sind, so daß die vorgenommene Abkürzung sehr verbreitet, und meiner Meinung nach auch zulässig, ist. --Sledge 01:29, 14. Mär 2005 (CET)

Allerdings gibt es von dieser Sorte Eigenschaften außer den Totalitäten im Artikel nur noch die Eigenschaft "alternativ", von der ich noch nie etwas gehört habe. Auch "trichotomisch" finde ich ein wenig ausgefallen.--Gunther 01:46, 14. Mär 2005 (CET)

Mir ist noch die Benutzung von "serial" im Englischen für linkstotal untergekommen. Kennt jemand anders diese Bezeichungsweise? Ansonsten kenne ich Andererseits: "Whitehcid and Russell apply the term serial relation to relations which are transitive, irreflexive, and connected (and, in consequence, also asymmetric). However, the use of serial relations in this sense, instead ordering relations as just defined, is awkward in connection with the notion of order for unit classes." (http://www.ditext.com/runes/o.html, siehe "order") (Alex, emailalex@web.de, 21.1.06)

[Bearbeiten] Fuzzy Logic?

Mir fehlt hier die Verknüpfung zur Fuzzy-Logic und dem Begriff der "unscharfen Relation". Wie könnte man das geschickt einbauen? Der Fuzzy-Logic-Artikel ist leider nicht gut ausgearbeitet...

[Bearbeiten] Korrespondenz

Man sollte vielleicht noch spezielle Namen erwähnen: Korrespondenz K zwischen Mengen A, B als:

und Abbildungen als eindeutige Korrespondenzen K mit der zusätzlichen Eigenschaft:

In diesem Zusammenhang könnte man eine linkstotale Relation als Korrespondenz und wenn zusätzlich rechtseindeutig als Funktion definieren. --

[Bearbeiten] Surjektiv und Injektiv

In der jetzigen Version wird der Begriff "surjektiv" mit "rechtstotal" in Verbindung gebracht (Siehe Tabelle unter 4. "Eigenschaften"). Täusche ich mich, oder gehört das "surjektiv" nicht eher zum "rechtseindeutig"?

[Bearbeiten] Bildwarnung

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-- DuesenBot 20:16, 12. Sep 2006 (CEST)

[Bearbeiten] Eigenschaften für B=A und andere

Sehr viele Eigenschaften gelten für binäre Relationen mit B=A, auch wenn dies nicht erwähnt ist, und nur einige wenige für den allgemeineren Fall (und werden dann i.. nur für funktionale Relationen verwendet).

Ich schlage vor, die Tabelle in 2 Tabellen aufzuspalten, wobei die erste nur den Fall B=A betrifft (sodaß man das nicht überall dazu schreiben muß - was andernfalls getan werden müßte!), und die zweite den "allgem." Fall (evtl mit Kommentar "insbesondere für Funktionen"). MFH 20:55, 13. Okt. 2006 (CEST)

Geschehen (allerdings ohne dass ich diesen Post zuvor gesehen habe)! Mein Grund die Tabelle zu teilen war, dass sie sich schon ohne meine mengentheoretische Spalte nur mit erheblichem Aufwand ordentlich drucken ließ.

By the way: Hat schon mal jemand von identitiv gehört?, habe ich so vorgefunden.--KleinKlio 19:23, 6. Nov. 2006 (CET)

[Bearbeiten] Antitransitivität

Da a,b,c allquantifiziert sind und somit die gleichen Werte annehmen dürfen, impliziert die Antitransitivität (wie sie momentan angegeben ist) die Irreflexivität. (auch schon, wenn nur 2 Variabeln den selben Wert annehmen dürfen und die Relation nicht nur Elemente der Form (a,a) enthält) Ist das so korrekt? Wenn ich jetzt an die Graphentheorie denke, ist ein gerichteter Graph antitransitiv, wenn er keine transitiven Kanten enthält, reflexive Kanten zählen dort nicht. Dort muss die Bedingung "nur" für alle a,b,c gelten, die paarweise verschieden sind. Ich habe auch schon gesucht, meine Algebra Unterlagen befassen sich allerdings nicht mit solch grundlegenden Dingen. --Reziprok 21:05, 15. Okt. 2006 (CEST)

[Bearbeiten] Eine Relation ist

Eine Relation ist allgemein eine Beziehung. Ja, aber was ist eine Beziehung. Eine Relation?