Průběh funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Průběh funkce

Pokud se snažíme zjistit alespoň přibližný tvar grafu funkce, hovoříme o tom, že vyšetřujeme průběh funkce. Při tom se zkoumají různé vlastnosti funkce a hledají se funkční body, které graf funkce dělí na intervaly mající příslušnou vlastnost. Při vyšetřování průběhu funkce se zajímáme o následující vlastnosti:

definiční obor a obor hodnot
určíme periodičnost, sudost a lichost funkce a její ohraničenost
průsečíky grafu se souřadnými osami
- Průsečík grafu funkce $f (x)$ se osou $y$ získáme dosazením hodnoty $x = 0$ do funkce $f$ , tzn. získáme hodnotu $y 0 = f (0)$ .
- Průsečík grafu funkce $f (x)$ se osou $x$ získáme řešením rovnice $f (x) = 0$ .
intervaly spojitosti funkce
body nespojitosti a limity v bodech nespojitosti
určíme první derivaci funkce, kterou využijeme k určení
- intervalů monotonie
- stacionárních bodů a lokálních extrémů
vypočteme druhou derivaci a s její pomocí určíme
- intervaly konvexnosti a konkávnosti
- inflexní body
rovnice asymptot
funkční hodnoty ve vybraných význačných bodech (tím jsou myšleny nejen extrémy či inflexní body, ale také body informaci o průběhu funkce mezi těmito body)

Na základě získaných výsledků vyšetřování průběhu funkce pak lze sestrojit graf.

[editovat] Příklad

Vyšetřujme průběh funkce $y = x\; \ln x$ .

Zatímco $x$ je definováno pro všechna reálná čísla, logaritmus je definován pouze pro $x > 0$ . Definičním oborem vyšetřované funkce tedy bude $(0,+\infty)$ .

Vzhledem k tomu, že funkce je definována pouze pro $x > 0$ , není periodická, ani lichá nebo sudá.

Pro limitu v bodě 0 určíme pomocí l'Hospitalova pravidla

$\lim_{x \rightarrow 0+} x \; \ln x = \lim_{x \rightarrow 0+} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \rightarrow 0+} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^2}} = 0$

Funkci lze tedy definovat také v bodě $y (0) = 0$ , tzn. rozšířit definiční obor na $\langle 0, +\infty)$ .

Průsečík s osou $y$ získáme dosazením $x = 0$ , tedy $y = 0$ .

Průsečík s osou $x$ získáme z rovnice $x \; \ln x = 0$ , která má řešení $x 1 = 0, x 2 = 1$ .

První a druhá derivace funkce jsou

$y^\prime = \ln x + 1$

$y^{\prime\prime} = \frac{1}{x}$

Funkce je rostoucí v intervalu, ve kterém platí $y^\prime > 0$ , což lze po dosazení zapsat jako $ln x > - 1$ . Řešením získáme, že funkce je rostoucí pro $x > \frac{1}{e}$ .

Funkce je klesající v intervalu, ve kterém platí $y^\prime < 0$ , tzn. $ln x < - 1$ . Řešením získáme, že funkce je klesající pro $x < \frac{1}{e}$ .

V bodě $x_3 = \frac{1}{e}$ je $y^\prime(x_3) = 0$ . Tento bod je tedy stacionárním bodem. Již z rozložení intervalů monotonie lze určit, že se jedná o ostré lokální minimum, což lze ověřit dosazením do druhé derivace, neboť $y^{\prime\prime}(\frac{1}{e}) = e > 0$ . Hodnota funkce v tomto bodě je $y(\frac{1}{e}) = - \frac{1}{e}$ .

Vzhledem k tomu, že $y^{\prime\prime} > 0$ na celém definičním oboru funkce, je funkce konvexní ve všech bodech, kde je definována. Funkce nemá žádný inflexní bod.