Extrém funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Lokální extrém funkce $f (x)$ je bod, ve kterém je funkční hodnota vyšší (lokální maximum) či nižší (lokální minimum) než funkční hodnota v libovolném bodě nějakého okolí tohoto bodu. Přesněji řečeno, bod $a$ je lokální maximum, pokud existuje nějaké okolí $U (a)$ , pro které

$x \isin U(a) \and x \ne a \Rightarrow f(x) < f(a)$ .

Obdobně je bod $a$ lokální minimum, pokud existuje nějaké okolí $U (a)$ , pro které

$x \isin U(a) \and x \ne a \Rightarrow f(x) > f(a)$ .

O globálním extrému hovoříme tehdy, pokud je funkční hodnota v nějakém bodě menší, resp. větší než funkční hodnota v libovolném jiném bodě celého definičního oboru. Takový bod se pak označuje jako globální minimum, resp. globální maximum. Globální minimum, resp. maximum je tedy minimem, resp. maximem oboru hodnot.

Globálním extrémem může být nejen lokální extrém, ale také některý z krajních bodů definičního oboru.

Obsah

1 Určení extrému
- 1.1 Příklad
2 Extrémy funkce více proměnných
- 2.1 Extrémy funkce dvou proměnných
3 Související články

[editovat] Určení extrému

Lokální extrém funkce $f (x)$ se nachází v jejích stacionárních bodech, které určíme pomocí první derivace funkce řešením rovnice $f^\prime(x) = 0$ , nebo v bodech $a$ , v nichž derivace $f^\prime(a)$ neexistuje.

Je-li ve stacionárním bodě druhá derivace funkce $f$ nenulová, tzn. $f^{\prime\prime}(a) \ne 0$ , pak můžeme určit extrémy funkce podle následujících pravidel:

je-li $f^\prime(a) = 0$ a $f^{\prime\prime}(a) < 0$ , pak se jedná o ostré lokální maximum
je-li $f^\prime(a) = 0$ a $f^{\prime\prime}(a) > 0$ , pak se jedná o ostré lokální minimum

Pro $f^\prime(a) \neq 0$ se v bodě $a$ extrém nenachází.

Pokud je ve stacionárním bodě nulová také druhá derivace, je nutno určit vyšší derivace. Je-li $f^\prime(a) = f^{\prime\prime}(a) = f^{\prime\prime\prime}(a)= ... =f^{(n-1)}(a) = 0$ a $f^{(n)} \neq 0$ , kde $n \geq 1$ , pak v bodě $a$ platí

pro $n$ sudé a $f (n) (a) > 0$ má funkce v bodě $a$ ostré lokální minimum
pro $n$ sudé a $f (n) (a) < 0$ má funkce v bodě $a$ ostré lokání maximum
pro $n$ liché a $f (n) (a) > 0$ je funkce v bodě $a$ rostoucí
pro $n$ liché a $f (n) (a) < 0$ je funkce v bodě $a$ klesající

Pokud v bodě $a$ derivace funkce neexistuje, pak zkoumáme chování derivace v okolí bodu $a$ . Jestliže $f^\prime(x)$ mění při průchodu bodem $a$ znaménko z plus na mínus, pak má funkce $f (x)$ v bodě $a$ ostré lokální maximum, mění-li se znaménko derivace při průchodu bodem $a$ z mínus na plus, pak je v bodě $a$ ostré lokální minimum.

[editovat] Příklad

Najděte extrémy funkce $y = x 3 + x 2$ v intervalu $\langle -1, 5 \rangle$ .

Z první derivace získáme stacionární body, tzn. $y^\prime = 3x^2 + 2x = 0$ . Stacionární body tedy jsou

$x_1 = 0, x_2 = - \frac{2}{3}$

Podle druhé derivace $y^{\prime\prime} = 6x + 2$ určíme, zda se jedná o extrém, popř. jaký

$y^{\prime\prime}(x_1) = 2$ , tzn. v bodě $x 1 = 0$ je ostré lokální minimum o hodnotě $y (0) = 0$
$y^{\prime\prime}(x_2) = -2$ , tz. v bodě $x_2 = - \frac{2}{3}$ je ostré lokální maximum o hodnotě $y({-\frac{2}{3}}) = \frac{4}{27}$

Na okrajích intervalu má funkce hodnoty $y ( - 1) = 0$ , $y (5) = 150$ . V bodě $x 3 = 5$ má funkce větší hodnotu než je hodnota lokálního maxima v bodě $x 2$ . V bodě $x 3 = 5$ se tedy nachází globální maximum funkce. Globální minimum se nachází v bodech $x 1 = 0$ a $x 4 = - 1$ .

[editovat] Extrémy funkce více proměnných

O funkci $f (x 1, x 2,..., x n)$ říkáme, že má lokální maximum v bodě $B = [b 1, b 2,..., b n]$ , pokud pro všechna $X = [x 1, x 2,..., x n]$ z okolí bodu $B$ platí $f(x_1,x_2,...,x_n) \leq f(b_1,b_2,...,b_n)$ . Je-li splněna podmínka $f(x_1,x_2,...,x_n) \geq f(b_1,b_2,...,b_n)$ , pak se jedná o lokální minimum funkce $f$ v bodě $B$ .

Pokud je splněna podmínka $f (x 1, x 2,..., x n) < f (b 1, b 2,..., b n)$ , pak se jedná o ostré lokální maximum funkce $f$ , a v případě platnosti podmínky $f (x 1, x 2,..., x n) > f (b 1, b 2,..., b n)$ jde ostré lokální minimum. Tyto body označujeme jako lokální extrémy funkce $f$ .

Pokud jsou uvedené podmínky splněny pro všechny body $X$ definičního oboru, pak se jedná o extrémy globální, tedy globální maximum nebo globální minimum funkce $f$ .

K určení extrémů lze použít parciální derivace funkce. Platí, že funkce $f$ může mít v bodě $B = [b 1, b 2,..., b n]$ lokální extrém pouze tehdy, pokud pro $i = 1,2,..., n$ platí

$\frac{\part f}{\part x_i} = 0$

Pokud má funkce $f (x 1, x 2,..., x n)$ v bodě $B = [b 1, b 2,..., b n]$ spojité parciální derivace druhého řádu, pak lze vytvořit symetrickou matici

$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} \frac{\part^2 f}{{\part x_1}{\part x_1}} & \frac{\part^2 f}{{\part x_1}{\part x_2}} & ... & \frac{\part^2 f}{{\part x_1}{\part x_n}} \\\frac{\part^2 f}{{\part x_2}{\part x_1}} & \frac{\part^2 f}{{\part x_2}{\part x_2}} & ... & \frac{\part^2 f}{{\part x_2}{\part x_n}} \\... & ... & ... & ... \\\frac{\part^2 f}{{\part x_n}{\part x_1}} & \frac{\part^2 f}{{\part x_n}{\part x_2}} & ... & \frac{\part^2 f}{{\part x_n}{\part x_n}} \end{pmatrix}$

Je-li matice $\mathbf{A}$ pozitivně definitní, pak má funkce $f$ v bodě $B$ ostré lokální minimum, je-li matice $\mathbf{A}$ negativně definitní, má funkce $f$ v bodě $B$ ostré lokální maximum, v ostatních případech (při všech prvních derivacích v daném bodě rovných nule) se jedná o jakýsi „sedlový bod“.

[editovat] Extrémy funkce dvou proměnných

Z předchozího tedy vyplývá, že funkce dvou proměnných $z = f (x, y)$ může nabývat lokálních extrémů pouze v těch bodech $[x 0, y 0]$ , v nichž jsou splněny podmínky $\frac{\part f(x_0,y_0)}{\part x} = 0$ , $\frac{\part f(x_0,y_0)}{\part y} = 0$ . Pokud má funkce $f (x, y)$ v bodech $[x 0, y 0]$ druhé parciální derivace, které označíme $A = \frac{\part^2 f(x_0,y_0)}{\part x^2}, B = \frac{\part^2 f(x_0,y_0)}{{\part x}{\part y}}, C = \frac{\part^2 f(x_0,y_0)}{\part y^2}$ , pak pokud v bodě $[x 0, y 0]$ platí $A C - B 2 > 0$ , je v tomto bodě lokální extrém funkce $f (x, y)$ , a to ostré lokální maximum pro $A < 0$ a ostré lokální minimum pro $A > 0$ . Pokud v bodě $[x 0, y 0]$ platí $A C - B 2 < 0$ , pak se nejedná o lokální extrém. V případě, že v bodě $[x 0, y 0]$ platí $A C - B 2 = 0$ , pak v tomto bodě lokální extrém může, ale nemusí být.