Semieix major

De Viquipèdia

En geometria, el terme semieix major és utilitzat per descriure les dimensions d'el·lipses e hipèrboles.

Taula de continguts

1 El·lipse
2 Hipèrbola
3 Astronomia
- 3.1 Període orbital
- 3.2 Distància mitjana

[edita] El·lipse

En una el·lipse: l'eix major (verd), el semieix major a, l'eix menor (rosa) i el semieix menor b.

L'eix major d'una el·lipse és el seu diàmetre més llarg, una recta que passa pel centre i els dos focus, mentre els seus extrems estan als punts més allunyats de l'el·lipse. El semieix major és una meitat de l'eix major, des del centre passa per un dels focus i va fins al costat de l'el·lipse.

Està relacionat amb el semieix menor $b\,\!$ a través de l'excentricitat $e\,\!$ i el semi-latus rectum $l\,\!$ , així:

$b = a \sqrt{1-e^2}\,\!$

$l=a(1-e^2)\,\!$

$al=b^2\,\!$

[edita] Hipèrbola

El semieix major d'una hipèrbola és una meitat de la distància entre les dues branques; si aquesta és en la direcció x l'equació és:

$\frac{\left( x-h \right)^2}{a^2} - \frac{\left( y-k \right)^2}{b^2} = 1$

En termes del semi-latus rectum i l'excentricitat tenim

$a={{l}\over{e^2-1}}$

[edita] Astronomia

[edita] Període orbital

En mecànica celeste, el període orbital $T\,$ d'un cos menor que gira al voltant d'un cos central en una òrbita circular o el·líptica és:

$T = 2\pi\sqrt{a^3/\mu}$

on:

$a\,$ és la longitud del semieix major de l'òrbita.

μ

és el paràmetre gravitacional estàndard.

Fixeu-vos que per totes les el·lipses amb el mateix semieix major, el període orbital és el mateix, independement de l'excentricitat.

En astronomia, el semieix major és un dels elements orbitals més importants d'una òrbita, juntament amb el període orbital. Per a objectes del sistema solar, el semieix major està relacionat amb el període de l'òrbita per la 3a llei de Kepler,

$P^2=a^3\,$

on P és el període en anys, i a és el semieix major en unitats astronòmiques.

En realitat això és només una simplificació de l'equació general per al problema dels dos cossos, determinat per Isaac Newton:

$P^2= \frac{4\pi^2}{G(M+m)}a^3\,$

on G és la constant gravitacional, M és la massa del cos central, i m és la massa del cos menor. Típicament, la massa del cos central és tan gran comparada amb la del cos menor que la massa m d'aquest últim es pot ignorar en l'equació. Fent aquesta suposició i utilitzant unitats astronòmiques típiques obtenim la forma més simple que Kepler va descobrir.

[edita] Distància mitjana

Es diu sovint que el semieix major és la distància «mitjana» entre el cos central i el cos menor. Això no és gaire precís, ja que depèn de quina mitjana es pren.

fent la distància mitjana respecte l'anomalia excèntrica s'obté el semieix major.
fent la mitjana respecte l'anomalia veritable (l'angle orbital verdader, mesurat al focus) s'obté, curiosament, el semieix menor $b = a \sqrt{1-e^2}\,\!$ .
fent la mitjana respecte l'anomalia mitjana (la fracció del període orbital que ha transcorregut des del periàpside, expressat com un angle), dóna la mitjana temporal (que és el que «mitjana» sol significar per a la majoria de la gent): $a (1 + \frac{e^2}{2})\,\!$ .