Голяма полуос

от Уикипедия, свободната енциклопедия

В геометрията голяма полуос се отнася до елипси и хиперболи.

Съдържание

1 Елипса
2 Хипербола
3 Астрономия
4 Пример
5 Източници

[редактиране] Елипса

Полу-главната ос на елипсата е половината от голямата ос от центъра и през фокус до точка от елипсата. Голямата ос е най-дългата отсечка, миниваща през двата фокуса и съединяваща двете най-отдалечени точки от фигурата.

Ексцентрицитетът $(e)$ е свързан с малката полуос $(b)$ и голямата полуос посредством зависимостта: $b = a \sqrt{1-e^2}$

Голямата полуос е средноаритметичната стойност на най-голямото $r={l\over{1-e}}$ и най-малкото $r={l\over{1+e}}$ разстояние от фокуса до точки от елипсата.

[редактиране] Хипербола

Голямата полуос на хипербола е половината от разстоянието между двете части на хиперболата. Ако разстоянието е по абсцисата то:

$\frac{\left( x-h \right)^2}{a^2} - \frac{\left( y-k \right)^2}{b^2} = 1$

[редактиране] Астрономия

[редактиране] Орбитален период

В астродинамиката орбитален период $T\,$ на тяло с незначителна маса и размери на орбита (кръгова или елиптична) около масивно тяло със сферична форма е:

$T = 2\pi\sqrt{a^3/\mu}$

където:

$a\,$ е дължината на голямата полуос

μ

е стандартен гравитационен параметър

Забележете че за всички елипси с една и съща голяма полуос орбиталния период е един и същ, независимо от ексцентрицитета.

В астрономията, голямата полуос е един от най-важните орбитални параметри, заедно с орбиталния период. За обекти в Слънчевата система орбиталният период и голямата полуос са свързани със третия закон на Кеплер:

$P^2=a^3\,$

където P е периода измерен в години и a е голямата полуос в АЕ. Закона е частен случай за M >> m на общия закон на гравитацията на Исак Нютон:

$P^2= \frac{4\pi^2}{G(M+m)}a^3\,$

където G е гравитационна константа, M е масата на централното тяло, а m е масата на тялото на орбита около централното.

[редактиране] Средно разстояние

Средно разстояние може да се определи по следния начин:

средното разстояние по ексцентричната аномалия е равно на голямата полуос.
средното разстояние по същинската аномалия (с постоянен ъгъл спрямо фокуса) е равно на малката полуос $b = a \sqrt{1-e^2}$ .
средното разстояние по средната аномалия (част от орбиталния период изминала след перицентъра, в радиани), е средното разстояние (в класическия смисъл) $a (1 + \frac{e^2}{2})\,$

[редактиране] Енергия; изчисление на главната полуос от вектори на положението

В астродинамиката главната полуос $a \,$ може да бъде изчислена от орбиталните вектори на положението по следния начин:

$a = { - \mu \over {2\epsilon}}\,$ за елиптична орбита и $a = {\mu \over {2\epsilon}}\,$ за хиперболична траектория

както и

$\epsilon = { v^2 \over {2} } - {\mu \over \left | \mathbf{r} \right |}$ (специфична орбитална енергия)

$\mu = GM \,$ (стандартен гравитационен параметър),

където:

$v\,$ е орбиталната скорост на обекта на орбита,
$\mathbf{r }\,$ е картезианския вектор на позицията на обекта на орбита в координати спрямо системата спрямо която орбиталните параметри биват изчислявани (например геоцентрична равнина за орбита около Земята и хелиоцентрична еклиптика за орбита около Слънцето),
$G \,$ е гравитационната константа,
$M \,$ е масата на централното тяло.

За дадена маса на централното тяло и обща специфична енергия, голямата полуос е винаги една и съща независимо от ексцентрицитета и обратно.

[редактиране] Пример

Международната космическа станция има орбитален период от 91,74 минути и следователно има голяма полуос от 6738 km [1]. За всяка минута допълнителна минута орбитален период се равнява на приблизително 50 km по-дълга ос: за допълнителните 300 km от орбиталната обиколка са необходими 40 секунди, а по-ниската орбитална скорост води до удължаване на периода с още 20 секунди.