Derivada parcial

De Viquipèdia

En matemàtiques, s'anomena derivada parcial d'una funció de diverses variables a la seva derivada respecte una d'aquestes variables, deixant les altres constants (de manera oposada a la derivada total, en la qual totes les variables poden variar). Les derivades parcials són útils a càlcul vectorial i geometria diferencial.

La derivada parcial d'una funció f respecte la variable x és representada per $\frac{ \partial f }{ \partial x }$ o $\partial_xf$ o f_x (on $\partial$ és una 'd' arrodonida, coneguda com el 'símbol de la derivada parcial', que coincideix amb la lletra ciríl·lica cursiva "de" is es pronuncia en català de la mateixa manera que la lletra "d".

[edita] Exemples

Considerant el volum V d'un con; depèn de l'alçada h del con i del seu radi r, d'acord amb la fòrmula

$V = \frac{ r^2 h \pi }{3}$

La derivada parcial de V respecte de r és

$\frac{ \partial V}{\partial r} = \frac{ 2r h \pi }{3}$

i descriu la velocitat a la qual el volum del con canvia si es varia el seu radi i es manté constant l'alçada. La derivada parcial de V respecte de h és

$\frac{ \partial V}{\partial h} = \frac{ r^2 \pi }{3}$

i representa la velocitat a la qual aquest volum canvia si es varia l'alçada i es deixa el radi constant.

Un altre exemple té a veure amb l'àrea A d'un cercle, encara que només depengui del radi r del cercle, d'acord amb la fòrmula

A = π r 2

La derivada parcial de A respecte de r és

$\frac{ \partial A}{\partial r} = 2 \pi r$

Les equacions de les que es deconeix la derivada parcial de certa funció s'anomenen equacions de derivades parcials, i són omnipresents en tota la ciència.

[edita] Notació

Pels exemples següents, sigui f una funció de x, y i z.

Derivades parcials de primer ordre:

$\frac{ \partial f}{ \partial x} = f_x = \partial_x f$

Derivades parcials de segon ordre:

$\frac{ \partial^2 f}{ \partial x^2} = f_{xx} = \partial_{xx} f$

Derivades mixtes de segon ordre:

$\frac{ \partial^2 f}{\partial x\,\partial y} = f_{xy} = f_{yx} = \partial_{xy} f = \partial_{yx} f$

Derivades parcials d'ordre superior i derivades mixtes:

$\frac{ \partial^{i+j+k} f}{ \partial x^i\, \partial y^j\, \partial z^k } = f^{(i, j, k)}$

Quan es tracta amb funcions de múltiples variables, algunes d'aquestes variables poden estar relacionades entre elles, i pot ser necessari especificar explícitament quines variables es mantenen constants. En camps com la mecànica estadística, les derivades parcials de f respecte de x, deixant y i z constants, s'expressen sovint com a

$\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)_{y,z}$

[edita] Definició formal i propietats

De la mateixa manera que les derivades ordinàries, les derivades parcials es defineixen com un límit. Sigui U un subconjunt obert de Rⁿ i f : U → R una funció. Es defineix la derivada parcial de f al punt a = (a₁, ..., a_n) ∈ U respecte la variable i-èsima x_i com a

$\frac{ \partial }{\partial x_i }f(\mathbf{a}) = \lim_{h \rightarrow 0}{ f(a_1, \dots , a_{i-1}, a_i+h, a_{i+1}, \dots ,a_n) - f(a_1, \dots ,a_n) \over h }$

Fins i tot si totes les derivades parcials ∂f/∂x_i(a) existeixen en un punt a, la funció no té per què ser contínua en aquest punt. En canvi, si totes les derivades parcials existeixen al voltant de a i són contínues en a, llavors f és totalment diferenciable en aquest entorn, i la derivada total és contínua. En aquest cas, es pot dir que f és una funció C¹

La derivada parcial ∂f/∂x_i es pot veure com una altra funció definida en U i també pot ser diferenciable parcialment. Si totes les derivades parcials mixtes existeixen i són contínues, anomenem a f una funció C²; en aquest cas, les derivades parcials es poden intercanviar mitjançant el teorema de Clairaut:

$\frac{\partial^2f}{\partial x_i\, \partial x_j} = \frac{\partial^2f} {\partial x_j\, \partial x_i}.$