Lp空间

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此文的正确标题应为“L^p空间”。其中的上标或下标因为技术限制被代替或省略。

在数学中， L^p空间是由p次可积函数组成的空间；对应的l^p空间是由 p次可和序列组成的空间。在泛函分析和拓扑向量空间中，他们构成了Banach空间一类重要的例子。

L^p空间在工程学领域的有限元分析中有应用。

[编辑] 由来

考虑n维实向量空间 Rⁿ。其中向量的加法由下式给出：

$(x_1, x_2, \dots, x_n) + (y_1, y_2, \dots, y_n) = (x_1+y_1, x_2+y_2, \dots, x_n+y_n),$

数乘为下式：

$\lambda(x_1, x_2, \dots, x_n)=(\lambda x_1, \lambda x_2, \dots, \lambda x_n).$

向量 $x=(x_1, x_2, \dots, x_n)$ 的长度通常如下定义：

$\|x\|=\left(x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2\right)^{1/2}$

但这不是定义长度的惟一方法。如果p 是一个实数， p≥1，对任意 $x=(x_1, x_2, \dots, x_n)$ 可定义：

$\|x\|_p=\left(|x_1|^p+|x_2|^p+\dots+|x_n|^p\right)^{1/p}$ 。

这表明这种方式定义的长度函数仍然满足范数的三条性质：

长度为0的向量只有0向量；
向量的长度函数对数乘线性；
满足三角不等式（这由闵可夫斯基不等式保证）。

可以证明，对任意的p≥1， Rⁿ以及上面的p范数就定义了一个Banach空间。

[编辑] 特例

最重要的例子是 p = 2，比如 $\ell^2$ 空间，L²空间是Hilbert空间，在傅立叶级数和量子力学以及其他领域有着重要的运用。

[编辑] L^p空间的性质

如果1 ≤ p ≤ ∞，那么闵可夫斯基不等式，可以用Hölder不等式证明，建立了 L^p(S)中的三角形不等式。利用勒贝格积分的收敛定理，可以证明L^p(S)是完备的，从而是Banach空间。（这里引入勒贝格积分很重要，而不能使用黎曼积分。）

[编辑] 嵌入

假设区域S具有有限测度, 以及 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞。那么由Hölder不等式有如下限制：

$\|f\|_p \le \mu(S)^{(1/p)-(1/q)} \|f\|_q$

从而，空间L^q 嵌入L^p。

由此可知，对区域S没有任何限制，嵌入

$L^p(S) \subset L^1_{\mathrm{loc}}(S)$

成立，这里右边的空间为S上的局部可积函数。

[编辑] 参见

Hardy空间
Hölder平均
Hölder空间
均方根

[编辑] 注释

Adams, Robert A.（1975）．Sobolev Spaces．New York：Academic Press．ISBN 0-12-044150-0．

[编辑] 外部链接

PlanetMath上Proof that L^p spaces are complete的資料。

分类: 泛函分析 | 序列空间 | 赋范空间

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