Batalin-Vilkovisky代数

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Batalin-Vilkovisky代数（Batalin-Vilkovisky algebra，简称BV代数）是Batalin和Vilkovisky在研究规范场的量子化过程中发现的一种代数结构^[1]^[2]。他们所提出的量子化方法（称为BV formailism或者BV quantization），是一种十分普遍而且有效的量子化方法，正受到越来越多的量子场论学家和弦理论家的重视和应用，而BV代数也越来越受到数学家们的重视。

[编辑] 定义

设 $\; V\;$ 是数域 $\; k\;$ 上的一个分次(graded)线性空间。 $\; V\;$ 上的一个BV代数结构是三元组 $\; (V,\bullet,\Delta)\;$ ，满足以下两个关系：

$\; (V,\bullet)\;$ 是 $\; k\;$ 上的分次、交换、结合的代数(algebra)；
$\; \Delta\;$ 是关于 $\; \bullet\;$ 的二阶微分算子，即 $\; \Delta\;$ 的度数为1， $\; \Delta^2=0\;$ ，并且对任给的 $\; a,b,c\in V\;$ ,

$\; \begin{matrix} \Delta(a\bullet b\bullet c)&=&\Delta(a\bullet b)\bullet c+(-1)^{|a|}a\bullet \Delta(b\bullet c)+(-1)^{(|a|+1)|b|}b\bullet \Delta (a\bullet c)\\ &&-(\Delta a)\bullet b\bullet c-(-1)^{|a|}a\bullet (\Delta b)\bullet c-(-1)^{|a|+|b|}a \bullet b\bullet (\Delta c).\; \end{matrix}$

在上面的定义中，如果令

$\;[a,b]=(-1)^{|a|}\Delta(a\bullet b)-(-1)^{|a|}(\Delta a)\bullet b-a\bullet (\Delta b),\;$

则可以验证， $\; (V,\bullet,[\;,\;])\;$ 形成一个Gerstenhaber代数。因此可以说，BV代数是一类特殊的Gerstenhaber代数。不仅如此， $\; \Delta\;$ 还是关于 $\; [\;,\;]\;$ 的导子(derivation)，即

$\;\Delta[a,b]=[\Delta a,b]+(-1)^{|a|+1}[a,\Delta b],\;$

使得 $\;(V,[\;,\;],\Delta)$ 形成一个微分分次李代数(differential graded Lie algebra, DGLA)。

[编辑] 例子

迄今为止所发现的BV代数的例子几乎都与数学物理有关。

设 $\; M\;$ 是一个奇的辛流形(odd symplectic manifold)，记 $\; C^{\infty}(M)\;$ 为 $\; M\;$ 上光滑函数组成的集合。我们有 $\; C^{\infty}(M)\;$ 形成一个分次交换结合的代数，记其乘法为 $\; \bullet\;$ 。设 $\; (x^1,\cdots,x^n;\eta^1,\cdots,\eta^n)\;$ 为 $\; M\;$ 上的一组Darboux坐标，令 $\; \Delta=\sum_{i=1}^n\frac{\partial}{\partial x^i}\frac{\partial}{\partial \eta^i},\;$ 则可以验证， $\; (C^{\infty}(M),\bullet,\Delta)\;$ 形成一个BV代数，参见^[3]^[4]；
田刚(G. Tian)在关于卡拉比-丘流形(Calabi-Yau manifold)的复结构的形变空间是光滑的证明中，实际上证明了控制复结构形变的微分分次李代数是一个BV代数^[5]；
B. Lian和G. Zuckerman证明了量子场论的数学背景(background，指从量子场论中抽象出来的代数结构)有一个BV代数结构^[6]；
E. Getzler用不同于Lian和Zuckerman的方法证明，一个二维拓扑共形场论(TCFT，此处采用Segal的定义)的同调群有一个自然的BV代数结构^[7]；
M. Chas和D. Sullivan证明，一个流形的自由环路空间(free loop space)的同调群上有一个BV代数结构^[8]。

[编辑] 背景

正如上面所述，BV代数跟量子场论有密切的联系。事实上，对一些数学物理学家来说，一个量子场论就指一个BV代数以及其中一个元素 $\; S\;$ ，该元素满足以下方程：

$\;\Delta e^S=0\quad \Big(\;$ 等价于 $\;\Delta S+\frac{1}{2}[S,S]=0\Big),\;$

称为Master方程，有时候 $\;S\;$ 必须满足所谓的量子Master方程，即

$\;\Delta e^{\frac{S}{\hbar}}=0.\;$

另外，BV代数跟弦理论里面的镜像对称(Mirror Symmetry)也有密切的关系。事实上，镜像对称的A模型和B模型都有一个BV代数，而它们相应的Master方程的解空间上都有一个所谓Frobenius流形的结构。镜像对称的一种表述就是，这两个Frobenius流形是同构的。

BV代数的研究是目前数学特别是数学物理中一个比较活跃的领域，关于它的研究仍在进行之中。

[编辑] 参考文献

^ I.A. Batalin and G.A. Vilkovisky, Gauge algebra and quantization. Phys. Lett. B 102 (1981), no. 1, 27-31.
^ I.A. Batalin and G.A. Vilkovisky, Quantization of gauge theories with linearly dependent generators. Phys. Rev. D (3) 28 (1983), no. 10, 2567-2582.
^ A. Schwarz, Geometry of Batalin-Vilkovisky quantization, arxiv: hep-th/9205088
^ D. Fiorenza, An introduction to the Batalin-Vilkovisky formalism, arxiv: math.QA/0402057
^ G. Tian, Smoothness of the universal deformation space of compact Calabi-Yau manifolds and its Petersson-Weil metric. Mathematical aspects of string theory (San Diego, Calif., 1986), 629-646, Adv. Ser. Math. Phys., 1, World Sci. Publishing, Singapore, 1987.
^ B. Lian and G. Zuckerman, New perspectives on the BRST-algebraic structure of string theory. Comm. Math. Phys. 154 (1993), no. 3, 613-646.
^ E. Getzler, Batalin-Vilkovisky algebras and two-dimensional topological field theories. Comm. Math. Phys. 159 (1994), no. 2, 265-285.
^ M. Chas and D. Sullivan, String topology, arxiv: math-GT/9911159.

分类: 数学物理 | 代数拓扑 | 量子场论

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