阻尼

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一个有阻尼的弹簧振子振动示意图。从振动形式看，这是一个欠阻尼体系。

阻尼（英语：damping）是指任何振动系统在振动中，由于外界作用和/或系统本身固有的原因引起的振动幅度逐渐下降的特性，以及此一特性的量化表征。

[编辑] 概述

在物理學和工程學上，阻尼的力学模型一般是一个与振动速度大小成正比，与振动速度方向相反的力，该模型称为粘性（或黏性）阻尼模型，是工程中应用最广泛的阻尼模型。粘性阻尼模型能较好地模拟空气、水等流体对振动的阻碍作用。本条目以下也主要讨论粘性阻尼模型。然而必须指出的是，自然界中还存在很多完全不满足上述模型的阻尼机制，譬如在具有恒定摩擦系数的桌面上振动的弹簧振子，其受到的阻尼力就仅与自身重量和摩擦系数有关，而与速度无关。

除简单的力学振动阻尼外，阻尼的具体形式还包括电磁阻尼、介质阻尼、结构阻尼，等等。尽管科学界目前已经提出了许多种阻尼的数学模型，但实际系统中阻尼的物理本质仍极难确定。下面仅以力学上的粘性阻尼模型为例，作一简单的说明。

粘性阻尼可表示为以下式子：

$\bold{F} = -c \bold{v}$

其中F表示阻尼力，v表示振子的运动速度（矢量），c 是表征阻尼大小的常数，称为阻尼系数，国际单位制单位为牛顿·秒/米。

上述关系类比于电学中定义电阻的欧姆定律。

在日常生活中阻尼的例子随处可见，一阵大风过后摇晃的树会慢慢停下，用手拨一下吉他的弦后声音会越来越小，等等。阻尼现象是自然界中最为普遍的现象之一。

[编辑] 例子：弹簧阻尼器振子

弹簧阻尼器振子示意图。图中B 表示阻尼系数（通常用c 表示），F 表示作用在质量块上的外力。在以下的分析中假设F = 0。

理想的弹簧阻尼器振子系统如右图所示。分析其受力分别有：

弹性力（k 为弹簧的劲度系数，x 为振子偏离平衡位置的位移）：

$F_\mathrm{s} \ \ = \ \ - k x$

阻尼力（c 为阻尼系数，v 为振子速度）：

$F_\mathrm{d} \ \ = \ \ - c v \ \ = \ \ - c \dot{x} \ \ = \ \ - c \frac{dx}{dt}$

假设振子不再受到其他外力的作用，于是可利用牛顿第二定律写出系统的振动方程：

$\sum \ F \ \ = \ \ ma\ \ = \ \ m \ddot{x} \ \ = \ \ m \frac{d^2x}{dt^2}$

其中a 为加速度。

[编辑] 运动微分方程

上面得到的系统振动方程可写成如下形式，问题归结为求解位移x 关于时间t 函数的二阶常微分方程：

$m \ddot{x} + c \dot{x} + k x = 0$

将方程改写成下面的形式：

$\ddot{x} + { c \over m} \dot{x} + {k \over m} x = 0.$

然后为求解以上的方程，定义两个新参量：

$\omega_n = \sqrt{ k \over m }$

$\zeta = { c \over 2 \sqrt{k m} }.$

上面定义的第一个参量，ω_n，称为系统的（无阻尼状态下的）固有频率。第二个参量，ζ，称为阻尼比。根据定义，固有频率具有角速度的量纲，而阻尼比为无量纲参量。

微分方程化为：

$\ddot{x} + 2 \zeta \omega_n \dot{x} + \omega_n^2 x = 0.$

根据经验，假设方程解的形式为

$\ x = e^{\gamma t} \$

其中参数 $\ \gamma \$ 一般为复数。

将假设解的形式代入振动微分方程，得到关于γ的特征方程：

$\gamma^2 + 2 \zeta \omega_n \gamma + \omega_n^2 = 0.$

解得γ为：

$\gamma = \omega_n( - \zeta \pm \sqrt{\zeta^2 - 1}).$

[编辑] 系统行为

欠阻尼、临界阻尼和过阻尼体系的典型位移-时间曲线

系统的行为由上小结定义的两个参量——固有频率ω_n和阻尼比ζ——所决定。特别地，上小节最后关于 $γ$ 的二次方程是具有一对互异实数根、一对重实数根还是一对共轭虚数根，决定了系统的定性行为。

[编辑] 临界阻尼

当 $ζ = 1$ 时， $\gamma \$ 的解为一对重实根，此时系统的阻尼形式称为临界阻尼。现实生活中，许多大楼内房间或卫生间的门上在装备自动关门的扭转弹簧的同时，都相应地装有阻尼铰链，使得门的阻尼接近临界阻尼，这样人们关门或门被风吹动时就不会造成太大的声响。

[编辑] 过阻尼

当 $ζ > 1$ 时， $\gamma \$ 的解为一对互异实根，此时系统的阻尼形式称为过阻尼。当自动门上安装的阻尼铰链使门的阻尼达到过阻尼时，自动关门需要更长的时间。

[编辑] 欠阻尼

当 $0 < ζ < 1$ 时， $\gamma \$ 的解为一对共轭虚根，此时系统的阻尼形式称为欠阻尼。在欠阻尼的情况下，系统将以圆频率 $\omega_\mathrm{d}=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$ 相对平衡位置作往复振动。

[编辑] 方程的解

对于欠阻尼体系，运动方程的解可写成：

$x (t) \ = \ A e^{- \zeta \omega_n t} \cos( \omega_\mathrm{d} t + \varphi)$

其中

$\omega_\mathrm{d} = \omega_n \sqrt{1 - \zeta^2 }$

是有阻尼作用下系统的固有频率，A 和φ 由系统的初始条件（包括振子的初始位置和初始速度）所决定。该振动解表征的是一种振幅按指数规律衰减的简谐振动，称为衰减振动（见上图中 $\varsigma < 1$ 的位移-时间曲线所示）。

对于临界阻尼体系，运动方程的解具有形式

$x(t) \ = \ (A+Bt)e^{-\omega_n t}$

其中A 和B 由初始条件所决定。该振动解表征的是一种按指数规律衰减的非周期运动。

对于过阻尼体系，定义

$\omega ^* = \omega _n \sqrt {\zeta ^2 - 1}$

则运动微分方程的通解可以写为：

$x(t) = e^{ - \varsigma \omega _n t} (A \cosh \omega ^*t + B \sinh \omega ^*t)$

其中A 和B 同样取决于初始条件，cosh 和 sinh 为双曲函数。该振动解表征的是一种同样按指数规律衰减的非周期蠕动。从上面的位移-时间曲线图中可以看出，过阻尼状态比临界阻尼状态蠕动衰减得更慢。

[编辑] 參看

[编辑] 参考资料

倪振华编著，《振动力学》，西安交通大学出版社，西安，1990，ISBN 7-5605-0212-1/O·44
R. W. Clough, J. Penzien, Dynamics of Structures, Mc-Graw Hill Inc., New York, 1975, ISBN 0-07-011392-0。（中文版：R.W.克拉夫，J.彭津著，王光远等译，《结构动力学》，科学出版社，北京，1981）

分类: 振动和波 | 動力學

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