連通和

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在數學裡，尤其是在拓撲學裡，連通和的運算是指一於流形上的幾何改變。其效果為將兩個給定的流形於各個選定的點附近連接起來。此一建構在閉曲面分類上有著關鍵性的角色。

更一般地，也可以將流形和其子流形連接起來；此一廣義化通常稱為纖維和。另外還有在結上之連通和的一相關概念，其稱為結和或結的複合。

[编辑] 於一點上的連通和

兩個m維流形的連通和為一流形，其將兩個流形各刪去一個球，再將球面邊界黏在一起。

若兩個流形是可定位的，there is a unique connected sum defined by having the gluing map reverse orientation. 即使這建構使用到的球的選擇，但最後結果都會於同胚下統一。亦可以將此運算作用於光滑範疇上，而其結果也會於微分同構下統一。

連通和的運算標記為 $\#$ ；例如， $A \# B$ 即表示為A和B的連通和。

連通和的運算中有一球面 $S m$ 為單位元；亦即， $M \# S^m$ 會同胚(或微分同構)於M。

閉球面的分類，在拓撲學上的一基本及重大結果，其描述任一閉球面均可表示成一g個環面和k個實射影平面的連通和。

[编辑] Connected sum along a submanifold

設 $M 1$ 和 $M 2$ 為兩個光滑、可定向且相同維度的流形，及V為一光滑、封閉且可定向的流形，可內嵌成 $M 1$ 和 $M 2$ 的子流形。此外，再假設其存在一法叢的同構

$\psi: N_{M_1} V \to N_{M_2} V$

其將每一纖維的定向顛倒。然後，ψ便可導出一定向保留的微分同構

$N_1 \setminus V \cong N_{M_1} V \setminus V \to N_{M_2} V \setminus V \to N_{M_2} V \setminus V \cong N_2 \setminus V,$

其中，每一法叢 $N_{M_i} V$ 都會微分同構地和於 $M i$ 內V的鄰域 $N i$ 一致，且映射

$N_{M_2} V \setminus V \to N_{M_2} V \setminus V$

[编辑] 另見

Band sum
Prime decomposition (3-manifold)
Manifold decomposition

[编辑] 參考文獻

Robert Gompf: A new construction of symplectic manifolds, Annals of Mathematics 142 (1995), 527-595
William S. Massey, A Basic Course in Algebraic Topology, Springer-Verlag, 1991. ISBN 0-387-97430-X.

分类: 微分拓扑学 | 二元運算

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[编辑] 另見

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