费马平方和定理
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费马平方和定理是由法国数学家费马在1640年提出的一个猜想,但他没有提出有力的数学证明,1747年,瑞士数学家萊昂哈德·歐拉提出证明后成为定理。
[编辑] 内容
费马平方和定理的表述是:奇質數能表示为两个平方数之和的充分必要条件是该素数被4除余1。
[编辑] 欧拉的证明
欧拉在1747年证明了费马平方和定理,当年他四十岁。他在当年5月6日寄给哥德巴赫一封信,讲述这个定理的证明。该证明分五步,且用到了无穷递降法;由于信中没有把第五步讲清楚,因此1749年他再次寄给哥德巴赫一封信,详细讲述第五步的证明。
第一步、“如果两个整数都能表示为两个平方数之和,则它们的积也能表示为两个平方数之和。”
第二步、“如果一个能表示为两个平方数之和的整数被另一个能表示为两个平方数之和的素数整除,则它们的商也能表示为两个平方数之和。”
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- 假设a2 + b2能被p2 + q2整除,且后者为素数。则p2 + q2能整除
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- (pb − aq)(pb + aq) = p2b2 − a2q2 = p2(a2 + b2) − a2(p2 + q2).
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- 由于p2 + q2是素数,因此它能整除两个因子之一。假设它能整除pb − aq。由于
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- 可推出p2 + q2能整除(ap + bq)2。于是等式能被p2 + q2的平方整除。两边除以(p2 + q2)2得:
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- 因此其商能表示为两个平方数之和。
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- 如果p2 + q2能整除pb + aq,则利用等式
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- 同样可证。
第三步、“如果一个能表示为两个平方数之和的整数被另一个不能表示为两个平方数之和的整数整除,则它们的商也必有一个不能表示为两个平方数之和的因子。”
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- 假设x能整除a2 + b2,且其商的分解式为。则。如果所有的因子pi都能表示为两个平方数之和,则我们可以用p1、p2、等等去除a2 + b2,并使用第二步的结论,可得每一个商都能表示为两个平方数之和。除到只剩x的时候,可得x也能表示为两个平方数之和,矛盾。因此,如果x不能表示为两个平方数之和,则至少有一个素数pi 也不能表示为两个平方数之和。
第四步、“如果a和b互素,则a2 + b2的所有因子都能表示为两个平方数之和。”
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- 如果c和d互素,则我们可直接使用c和d,不必转换成e和f。
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- 如果x不能表示为两个平方数之和,则根据第三步的结论,可知必有一个z的因子不能表示为两个平方数之和;设它为w。于是我们从x推出了一个更小的整数w,都不能表示为两个平方数之和,但都能被一个能表示为两个平方数之和的整数整除。由于这个无穷递降是不可能的,因此x一定能表示为两个平方数之和。
第五步、“任何形为4n + 1的素数都能表示为两个平方数之和。”
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- 如果p = 4n + 1,则根据费马小定理可得被p除都余1。因此它们的差都能被p整除。这些差可分解为
- 由于p是素数,它一定能整除这两个因子之一〔以下称它们为“和因子”和“差因子”〕。如果它能整除任何一个“和因子”,则根据第四步的结论可得p能表示为两个平方数之和〔由于a和b仅相差1,它们必然互素〕。而如果它能整除所有的4n − 1个“差因子”,则它也能整除4n − 2个一阶差、4n − 3个二阶差,依此类推。由于数列的第k阶差都等于k!,于是第2n阶差都等于(2n)!,显然它不能被p整除。因此,p不能整除所有的“差因子”,得证p能表示为两个平方数之和。
- 如果p = 4n + 1,则根据费马小定理可得被p除都余1。因此它们的差都能被p整除。这些差可分解为
[编辑] 参考文献
- Richard Dedekind,“代数整数的理论”。
- C. F. Gauss,“Disquisitiones Arithmeticae”(英文版)。由Arthur A. Clarke翻译。Springer-Verlag,1986年。