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變分法基本引理 - Wikipedia

變分法基本引理

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在變分法裏，變分法基本引理是一個引理，專門地轉換問題的表述(formulation)，從弱版表述（變分形式）改為強版表述（微分形式）。

目录

[编辑] 定義

變分法基本引理闡述，假設 f(x)\,\! 是一個在區間 [a,\ b]\,\! 的平滑函数，對於每一個函數 h(x)\in C^\infty [a,\ b]\,\! ，

\int_a^b f(x) \, h(x) \, dx = 0 \,\! ，

而且，

h(a)=h(b)=0\,\! ；

那麼，在區間 (a,\ b)\,\! 內，f(x)\,\! 恆等於 0 。

[编辑] 證明

如果 f(x)\,\! 是一個滿足假設的函數。讓 r(x)\,\! 為任何平滑函数： r(a)=r(b)=0\,\! ；在 (a,\ b)\,\! 內，r(x)>0\,\! 。例如，r(x)= - (x - a)(x - b)\,\! 。讓 h(x) = r(x) f(x)\,\! 。很明確地，h(x)\,\! 滿足假設。所以，

0 = \int_a^b f(x) h(x) \; dx = \int_a^b r(x) f(x)^2 \; dx\,\! 。

但是，被積分函數不是負值，所以，必須恆等於零。又因為 r(x)\,\! 在 (a,\ b)\,\! 是正值，所以，f(x)\,\! 也必須恆等於 0 。所以，在區域 [a,\ b]\,\! 內，f(x)=0\,\! 。

[编辑] 應用

這引理可用來證明泛函

J[f(t,y,\dot y)] = \int_{x_0}^{x_1} f(t,y,\dot y) \, dt \,\!

的極值是歐拉-拉格朗日方程式的弱解，

{d \over dt} \left({\partial f(t,y,\dot y) \over \partial \dot y}\right) - {\partial f(t,y,\dot y) \over \partial y} = 0\,\! 。

歐拉-拉格朗日方程式在經典力學和微分幾何佔有重要的角色。

[编辑] 參閱

[编辑] 參考文獻

  • Leitmann, George（1981）．The Calculus of Variations and Optimal Control: An Introduction．Springer．ISBN 0306407078． 
其他语言


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