自然数的集合论定义
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已经提出了多种方式使用集合论定义自然数。
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[编辑] 当代标准
在 ZFC 和有关理论中工作的自然数的集合论定义是约翰·冯·诺伊曼的序数定义:
- 定义空集为零。
- 定义 n 的后继为 n ∪ {n}
通过基数指派，有限基数可以通过选择公理的方式定义自这些数；参见 Suppes (1972: chpt. 9)。
无穷公理接着确保所有自然数的集合 N 存在。容易证明上述定义满足皮亚诺公理。它也(对比于某些可供选择的定义)有每个自然数 n 都是有精确的 n 个元素的集合 {0,1,2,...,n-1} 的性质。
[编辑] 最老的定义
弗雷格(和伯兰特·罗素独立的)提议了如下定义。非形式的，每个自然数 n 被定义为其每个成员都有 n 个元素的集合。更形式的说，一个自然数是在等势的关系下的所有集合的等价类。这看起来是循环定义其实不是。
更加形式的说，首先定义 0 为 
(这是其唯一元素是空集的集合)。接着给定任何集合 A，定义:
- σ(A) 为
。
σ(A) 是通过向 A 的所有成员 x 增加一个新元素而获得的集合。σ 是后继函数的集合论运算实现(operationalization)。有函数 σ 在握，我们可以说 1 = σ(0),2 = σ(1), 3 = σ(2), 以此类推。这个定义有预期的效果: 我们所定义的 3 实际上是其成员都有三个元素的集合。
如果全集 V 有有限势 n，则 
, 
，自然数的序列就此终结。所以如果 Frege-Russell 自然数要满足皮亚诺公理，下层的公理化集合论必须包括无穷公理。自然数的集合可以被定义为包含 0 并闭合在 σ 下的所有集合的交集。
这个定义工作于朴素集合论、类型论和根源于类型论的集合论如新基础集合论和相关系统中。但是它不工作于公理化集合论 ZFC 和相关系统中，因为在这种系统中在等势下的等价类对于集合而言太大了。由于罗素悖论的原因，在 ZFC 中没有全集 V。
Hatcher (1982)从一些基础系统，包括 ZFC 和范畴论推导出了皮亚诺公理。他从弗雷格的 Grundgesetze 系统使用现代符号和自然演绎谨慎的推导出这些公理。当然，罗素悖论证明了这个系统是不自恰的，但是 George Boolos (1998)和 Anderson 与 Zalta (2004)展示了如何修补它。
[编辑] 参见
[编辑] 引用
- Anderson, D. J., and Edward Zalta, 2004, "Frege, Boolos, and Logical Objects," Journal of Philosophical Logic 33: 1-26.
- George Boolos, 1998. Logic, Logic, and Logic.
- Hatcher, William S., 1982. The Logical Foundations of Mathematics. Pergamon. In this text, S refers to the Peano axioms.
- Holmes, Randall, 1998. Elementary Set Theory with a Universal Set. Academia-Bruylant. The publisher has graciously consented to permit diffusion of this introduction to NFU via the web. Copyright is reserved.
- Patrick Suppes, 1972 (1960). Axiomatic Set Theory. Dover.
[编辑] 外部链接
- Stanford Encyclopedia of Philosophy:
- Quine's New Foundations -- by Thomas Forster.
- Alternative axiomatic set theories -- by Randall Holmes.
- McGuire, Gary, "What are the Natural Numbers?"
- Randall Holmes: New Foundations Home Page.
