矛盾
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粗略的说，矛盾是在两个或更多陈述、想法或行动之间的不一致。你必须彻底的拒绝至少其中一个想法。
汉语辞源出自《韩非子》中《难一》所述故事：楚人有鬻盾与矛者，誉之曰：“吾盾之坚，物莫能陷之。”以誉其矛曰：“吾矛之利，于物无不陷也。”或曰：“以子之矛陷子之盾，何如？”其人弗能应也。夫不可陷之盾与无不陷之矛不可同世而立。
在逻辑中，矛盾被更加特殊化的定义为同时断言一个陈述和它的否定(可以使用"否认"替代"否定")。当然，这假定了"否定"有着无疑问的定义。这个想法基于亚里士多德的无矛盾律，它声称“你不能同时声称某事物在同一方面既是又不是”。
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[编辑] 利用矛盾的证明
在演绎逻辑(和数学)中，矛盾通常作为有什么东西错误了的迹象，你需要折回你的推理的步骤并"检查你的前提"。这在数学中的反证法中发挥了巨大的作用: 因为矛盾永远不能为真，所以它永远不能是有着全部为真的前提的有效论证的结论。要构造一个利用矛盾的证明，你需要从一组前提构造一个有效的论证，得出是逻辑矛盾的一个结论。因为结论为假，并且论证是有效的，唯一的可能性是一个或多个前提为假。在很多关键的数学证明中使用了这种方法，比如欧几里得对没有最大素数的证明，和康拖尔对在 0 和 1 之间有不可数的多个实数的对角线证明。
[编辑] 涉及矛盾的悖论
矛盾同许多有名的悖论有关。其中之一是在一阶谓词演算中从矛盾中可以推导出任何命题(也叫陈述)。换句话说，依据谓词演算，不管 P 和 Q 意味着什么，如果 P 和 ¬P 都为真的，则 Q 为真。在这个事实的表达中，矛盾被称为在一阶逻辑中的"逻辑爆炸"。
例如，下列论证是严格有效的，就是说前提在逻辑上蕴涵结论:
下面的论证也是有效的:
- 前提: 5 既是偶数又是奇数。(就是 P ∧ ¬P)。
- 结论: 神不存在。(就是 ¬Q)。
注意这两个论证共有的前提是错误的；5 是奇数而不是偶数。所以这些论证都不是可靠的，这意味着它们都没有为信赖它的结论给出一个逻辑基础。
可能大多数人认为这是怪异的，如果 5 既是偶数又是奇数，就能够在逻辑上得出明显的不相关的任何事情比如 神的存在性的结论。更加怪异的是，这个悖论还蕴涵了，如果一个人有是矛盾的任何两个信仰，则这个人在逻辑上证实任何可想象到的信仰。
[编辑] 这个悖论的证明
即使谓词演算的基本规则对于好的推理方式都是可靠的，它们在一起就会蕴涵这个悖论。有两个方法证明它。
第一个方法来自合取和蕴涵的真值表定义:
- (P ∧ ¬P) 为假。
- 所以，(P ∧ ¬P) → Q 为空虚真理。
第二个方法基于真值表的在美学上的缺陷:
- 假设 P ∧ ¬P。基于这个假定我们可以推导出:
- 所以 (P ∧ ¬P) → Q (条件证明)
