牟合方盖

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牟合方盖是一种几何体，是两个等半径圆柱躺在平面上垂直相交的公共部分。　　

/*（臣淳风等谨按：祖暅之谓刘徽、张衡二人皆以圆囷为方率，丸为圆率，乃设新法。）祖暅之开立圆术曰：以乘积开立方除之，即立圆径。其意何也？*/

　　这段文字即是已知求得体积求直径问题。张衡、刘徽等都研究过《九章算术》，特别是刘徽提出了“牟合方盖”的概念，并得出

　　球体积：牟合方盖体积＝π：4 （*）

只要求出方盖的体积，问题就解决了。但是他非常遗憾，未达到目的。　[1] [2]

牟合方盖（由两个同样大小但轴心互相垂直的圆柱体相交而成的立体）

　　/*取立方棋一枚，令立枢于左后之下隅，从规去其右上之廉。又合而横规之，去其前上之廉。于是立方之棋分而为四，规内棋一，谓之内棋；规外棋三，谓之外棋。更合四棋，复横断之。*/

祖冲之父子的工作集中在解决方盖体积问题上。解决的方法是：把方盖、它的内切球和球的外切立方体各切为8个相等的部分。为叙述方便起见，把八分之一方盖和立方体分别叫做“小方盖”[3]和“小立方”[4]。在此基础上，转而研究小立方减去小方盖的剩余部分的体积倒立阳马（倒立的正立方锥体）

“以勾股言之，令余高为勾，内棋断上方为股，本方之数，其弦也。勾股之法，以勾幂减弦幂，则余为股幂。若领余高自乘，减本方之幂，余即内棋横断上方之幂也。本方之幂，即外四棋之断上幂。然则余高自乘，即外三棋之断上幂矣。不问高卑，势皆然也。然固有所归同而途殊者尔。而乃控远以演类，借况以析微”

假定C-AEBO为小方盖。PQ是其水平截面正方形PQRS的一边，令其长为a。OQ为球半径r，OP为截面高h，QPO为一直角三角形。由勾股定理得a2=r2-h2，是为PQRS的面积。外面余下一个磬折形 QQ’R’S’SR。小立方的水平截面积为r2，因而QQ’R’S’SR的面积为

r 2 - a 2 = r 2 - (r 2 - h 2) = h 2

　　即磬折形面积等于截高h的平方。:

　　/*按阳马方高数参等者，倒而立之，横截去上，则高自乘与断上幂数，亦等蔫。 */

祖氏父子这时发现“按阳马方高数参等者，倒而立之，横截去上，则高自乘与断上幂数，亦等蔫”。就是把一个底边为r、高亦为r的阳马，倒立（底在上处于水平位置），则其在h高处的水平截面面积为h2，亦即与磬折形的面积相等。 /*夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异。*/

到这一步，他们又得到一个重要结论：“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异”。这就是人们熟知的“祖暅之原理”。

　　 /*由此观之，规之外三棋旁蹙为一，即一阳马也。三分立方，则阳马居一，内棋居二可知矣。合八小方成一大方，合八内棋成一合盖。内棋居小方三分之二，则合盖居立方矣三分之二，较然验矣。*/

《九章算术》中已经有阳马的体积等于其外接立方体的体积的1/3，从而知

　　小方盖积＝2/3小方积

两端乘8，则有

　　方盖积=2/3立方积。

/*置三分之二以圆幂率三乘之，如方幂率四而一，约而定之，以为丸率。故曰丸居立方二分之一也。等数既密，心亦昭晰。张衡放旧，贻哂于后。刘徽循故，未暇校新。夫岂难哉，抑未之思也。依密率，此立圆积，本以圆径再自乘，方积十一乘之，二十一而一，得此积。今欲求其本积，故以二十一乘之，十一而一。凡物再自乘，开立方除之，复其本数，故立方除之，即丸径也。 */

最后，设V为球积，D为球径。考虑到前面(*)式，并取 ${}\pi=\tfrac{22}{7}$ ，得 [5]　　。