海岛算经
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《海岛算经》是三国时代魏国数学家刘徽所著的测量学著作,原为《刘徽九章算术注》第九卷勾股章内容的延续和发展,名为《九章重差图》,附于《刘徽九章算术注》之后作为第十章。唐代将《重差》从《九章》分离出来,单独成书,按第一题“今有望海岛”,取名为《海岛算经》,是《算经十书》之一。
刘徽《海岛算经》“使中国测量学达到登峰造极的地步”[1],使“中国在數學测量学的成就,超越西方约一千年”(美国数学家弗兰克·斯委特兹语)[2]
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[编辑] 内容
《海岛算经》共九问。从题目文字可知所有计算都是用筹算进行的。“为实”指作为一个分数的分子,“为法”指作为分数的分母。所用的长度单位有里、丈、步、尺、寸;1里=180丈=1800尺;1丈=10尺:1步=6尺,1尺=10寸。
[编辑] 望海岛
今有望海岛,立两表,齐高三丈,前后相去千步,令后表与前表三相直。从前表却行一百二十三步,人目著地取望岛峰,与表末三合。从后表却行一百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末三合。问岛高及去表各几何? 答曰:岛高四里五十五步;去表一百二里一百五十步。 术曰:以表高乘表间为实;相多为法,除之。所得加表高,即得岛高。求前表去岛远近者:以前表却行乘表间为实;相多为法。除之,得岛去表里数。
由于前表去岛的距离不能直接测量,刘徽用同样高度的表杆前后测量,表杆与地面垂直,人眼贴地,望表杆顶和岛上山顶对齐,这时测得人眼和前表杆的水平距离叫“前表却行”DF=123步;再将表杆往后移动,两彪杆间距称为“表间”=1000步,依法测出“后表却行”FH=127步。
表高 =CD, 前表却行=DG 后表却行=FH 相多=FH-DG 表间=DF 岛高=AB 前表去岛远近=BD
依法得岛高AB=CDxDF/(FH-DG)+CD
前表去岛远近BD=DGxDF/(FH-DG)
[编辑] 望松生山上
今有望松生山上,不知高下。立两表齐,高二丈,前后相去五十步,令后表与前表三相直。从前表却行七步四尺,薄地遥望松末,与表端三合。又望松本,入表二尺八寸。复从后表却行八步五尺,薄地遥望松末,亦与表端三合。问松高及山去表各几何? 答曰:松高一十二丈二尺八寸;山去表一里二十八步、七分步之四。术曰:以入表乘表间为实。相多为法,除之。加入表,即得松高。求表去山远近者:置表间,以前表却行乘之为实。相多为法,除之,得山去表。
CD EF 表示前后两支表杆,前表杆有刻度,用作两次测量,第一次从G点瞄准A、C两点成直线,第二次从G点校准树根J,读出前表杆上度数(入表)。
表高 =CD=2丈 前表却行=DG=7步4尺 后表却行=FH=8步5尺 相多=FH-DG 表间=DF=50步 松高=AJ 前表去山远近=BD 入表=CK=二尺八寸
松高=AJ=CK x DF/(FH-DG)+CK 前表去山远近=BD=DF x DG/(FH-DG)
[编辑] 南望方邑
今有南望方邑,不知大小。立两表东、西去六丈,齐人目,以索连之。令东表与邑东南隅及东北隅三相直。当东表之北却行五步,遥望邑西北隅,入索东端二丈二尺六寸半。又却北行去表一十三步二尺,遥望邑西北隅,适与西表相三合。问邑方及邑去表各几何? 答曰:邑方三里四十三步、四分步之三;邑去表四里四十五步。 术曰:以入索乘后去表,以两表相去除之,所得为景差;以前去表减之,不尽以为法。置后去表,以前去表减之,余以乘入索为实。实如法而一,得邑方。求去表远近者:置后去表,以景差减之,余以乘前去表为实。实如法而一,得邑去表。
由于待测的方城宽度AB,在东西方向,与地面平行,因此两支在C点D点插入地面与地面垂直的表杆,在此不用作直接测量,测量是依靠一根拴在C、D两根垂直表杆中间的一条水平测量绳索CD完成的。此题中一根水平测量绳作两次测量用。
[编辑] 望深谷
今有望深谷,偃矩岸上,令勾高六尺。从勾端望谷底,入下股九尺一寸。又设重矩于上,其矩间相去三丈。更从勾端望谷底,入上股八尺五寸。问谷深几何?答曰:四十一丈九尺。术曰:置矩间,以上股乘之,为实。上、下股相减,余为法,除之。所得以勾高减之,即得谷深。
[编辑] 登山望楼
今有登山望楼,楼在平地。偃矩山上,令句高六尺。从句端斜望楼足,入下股一丈二尺。又设重矩于上,令其间相去三丈。更从句端斜望楼足,入上股一丈一尺四寸。又立小表于入股之会,复从句端斜望楼岑端,入小表八寸。问楼高几何? 答曰:八丈。 术曰:上下股相减,余为法;置矩闲,以下股乘之,如句高而一。所得,以入小表乘之,为实。实如法而一,即是楼高。
[编辑] 南望波口
今有东南望波口,立两表南、北相去九丈,以索薄地连之。当北表之西却行去表六丈,薄地遥望波口南岸,入索北端四丈二寸。以望北岸,入前所望表里一丈二尺。又却后行1去表一十三丈五尺。薄地遥望波口南岸,与南表三合。问波口广几何?答曰:一里二百步。 术曰:以后去表乘入索,如表相去而一。所得,以前去表减之,余以为法;复以前去表减后去表,余以乘入所望表里为实,实如法而一,得波口广。
此题中一根水平测量绳,作三次测量用。
[编辑] 望清渊
今有望清渊,渊下有白石。偃矩岸上,令句高三尺。斜望水岸,入下股四尺五寸。望白石,入下股二尺四寸。又设重矩于上,其间相去四尺。更从句端斜望水岸,入上股四尺。以望白石,入上股二尺二寸。问水深几何? 答曰:一丈二尺。 术曰:置望水上下股相减,余以乘望石上股为上率。又以望石上下股相减,余以乘望水上股为下率。两率相减,余以乘矩间为实;以二差相乘为法。实如法而一,得水深。又术:列望水上下股及望石上下股,相减,余为法。以望石下股减望水下股,余以乘矩间为实,实如法而一,得水深。
A标志水岸,S标志白石,C标志岸边;句是古代测量用具之一,有两个边成直角(如今三角板):使用时句的一边务必与地面垂直。此题用两个句,一个在C,一个在D,各测量水岸和水底白石。此题用四次测望术。
[编辑] 登山望津
今有登山望津,津在山南。偃矩山上,令句高一丈二尺。从句端斜望津南岸,入下股二丈三尺一寸。又望津北岸,入前望股里一丈八寸。更登高岩北,却行二十二步,上登五十一步,偃矩山上。更从句端斜望津南岸,入上股二丈二尺。问津广几何? 答曰:二里一百二步。 术曰:以句高乘下股,如上股而一。所得以句高减之,余为法;置北行,以句高乘之,如上股而一。所得以减上登,余以乘入股里为实。实 如法而一,即得津广。
[编辑] 登山临邑
此题用四次测望术[3]
[编辑] 历代研究
南北朝数学家祖冲之曾为《九章重差图》作注。唐朝将《九章重差图》从《刘徽九章算术注》中分离出来单独成书,以第一题“今有望海岛”取名为《海岛算经》。唐高宗显庆元年(656年)数学家李淳风等注释《算经十书》,作为国子监学习和考试用书,《海岛算经》就是《算经十书》之一,并且规定《海岛算经》的学习期限为三年,是其他算经学习期限的三倍[4],可见《海岛算经》在唐代受重视的程度。北宋元丰七年(1084年)和南宋宁宗嘉定六年(1213年)先后刻印两次。但宋刻本《海岛算经》后来遗失。明永乐年间收入《永乐大典》,但只存刘徽文字和李淳风注,原刘徽图和原刘徽所作的注释不存。清乾隆时代,经学家戴震将《海岛算经》文字,从《永乐大典》中辑录出来收入《四库全书》[5]。 南宋秦九韶研究过类似于海岛算经的测量书题目,南宋数学家杨辉《续古摘奇算法》讨论了四种测量问题,包括来自《海岛算经》海岛题,并指出“登高望松,遥望波口,非三望之术乎?清渊白石、登山临邑,非四望之术乎?”。清代有数学家李湟著《海岛算经细草图说》,沈钦裴著《重差图说》,李鏐著《海岛算经纬笔》。到民国时期,数学家李俨着有重差论文。近年中国数学家白尚恕、吴文俊等都先後研究过《海岛算经》。
[编辑] 传播
《海岛算经》在唐代传入朝鲜、日本。最早向西方介绍《海岛算经》的是19世纪来华传教士伟烈亚力。他1852年在《北华捷报》(North China Herald,《字林西报》前身)发表的论文:《中国数学科学札记》(Jottings on the Sciences of Chinese Mathematics)。伟烈亚力在文中介绍了《海岛算经》,说此书是“一部关于实用三角学的九个问题”。1913年日本数学史家三义上夫在其英文著作《中国与日本数学的发展》[6]中译出头三则问题,1932年法国数学家 L·van·Hee 翻译《海岛算经》全文[7]。1986年澳大利亚华人数学家洪天赐和美国数学家弗兰克·斯委特兹将《海岛算经》全文翻译成英文。此外还有日文翻译本和俄文翻译本。
[编辑] 评价
3世纪刘徽《海岛算经》运用二次、三次、四次测望法,是测量学历史上领先的创造。中外学者对《海岛算经》的成就,给予很高的评价。《海岛算经》的英译者和研究者,美国数学家弗兰克·斯委特兹,在比较西欧测量学从古代希腊、罗马直到文艺复兴时期的发展,认为希腊测量术,重点在测量器具的运用,而其数学水准远不如刘徽《海岛算经》,直到文艺复兴时代,才差强达到《海岛算经》水准。他还指出17世纪初意大利来华传教士利玛窦和中国徐光启合著的《测量法义》十五题,并未能达到或超越《海岛算经》。他结论;“简而言之,在测量数学领域,中国人的成就,超越西方世界约一千年。[8]”
《中国数学大系》一书中评价《海岛算经》:“使中国测量学达到登峰造极的地步。在西欧直到16,17世纪,才出现二次测量术的记载,到18世纪,才有了三、四次测量之术,可见中国古代测量学的意境之深,功用之广”[9]。刘徽《海岛算经》的测量术,实比欧洲早一千三百至一千五百年。
[编辑] 翻译本
- (法)L. van Hee: Le Classique d I'Ile Maritime: Ouvrage Chinois de III siecle 1932。
- (美)Frank J. Swetz: The Sea Island Mathematical Manual, The Pennsylvania State University Press, 1992 ISBN 0-271-00799-0
- (日)川原秀成译 《海岛算经》
- (俄)别辽姿金娜译 《海岛算经》 1974年
[编辑] 参考文献
- ^ 引自吴文俊主编 《中国数学大系》第三卷 248页 ISBN 7-303-04557-0/O
- ^ "Quite Simply, in the endeavors of mathematical surveying, China's accomplishments exceeded those realized in the West by about one thousand years", 見 弗兰克·斯委特兹: 《海岛算经:古代中国的测量学和数学》第四章第二节 比较回顾: 中国测量学的成就。(Frank J. Swetz: The Sea Island Mathematical Manual,Surveying and Mathematics in Ancient China 4.2 Chinese Surveying Accomplishments, A Comparative Retrospection 第63页 The Pennsylvania State University Press, 1992 ISBN 0-271-00799-0 )
- ^ 关于此题的讨论详见吴文俊主编 《中国数学大系》第三卷 247-248 ISBN 7-303-04557-0/O
- ^ Frank J. Swetz: The Sea Island Mathematical Manual, P9 The Pennsylvania State University Press, 1992 ISBN 0-271-00799-0
- ^ Frank J. Swetz: The Sea Island Mathematical Manual, P13 The Pennsylvania State University Press, 1992 ISBN 0-271-00799-0
- ^ Mikami, Yoshio:The Development of Mathematics in China and Japan 1913
- ^ L. van Hee: Le Classique d I'Ile Maritime: Ouvrage Chinois de III siecle 1932
- ^ Frank J. Swetz: The Sea Island Mathematical Manual, The Pennsylvania State University Press, p63 1992 ISBN 0-271-00799-0
- ^ 引自吴文俊主编 《中国数学大系》第三卷 东汉三国 243-248 ISBN 7-303-04557-0/O