概念文字

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最初 1879 年版的标题页。

概念文字是1879年出版的戈特洛布·弗雷格写的一本关于逻辑学的书。书名《Begriffsschrift》通常翻译成《Concept Writing》或《Concept Notation》；书的完整标题把它标识为《模仿算术的纯思维的形式语言》。这本小书无可争议是亚里士多德之后在逻辑学领域最重要的出版物。弗雷格开发他的形式逻辑系统的动机是类似于莱布尼兹对“演算推论器”的渴望。

弗雷格定义了逻辑演算来支持他在数学基础上的研究。概念文字是书和其中定义的演算二者的名字。

[编辑] 记号和系统

演算介入了量词，因而本质上是经典的谓词逻辑，尽管使用了一种特异的二维记号(notation): 连结词和量词使用连接公式的线条来书写，而不是今天使用的符号(symbol) ¬、∧、∀。例如，在判断 B 和 A 之间的蕴涵，也就是 $B \rightarrow A$ 用来指定。

在他的著作的第一章中，弗雷格确定了基本概念和标号(sign),象命题("断定/判断")，和全称量词("普遍性")，蕴含("条件性")，否定和等号 $\equiv$ ；在第二章中他声明了九个形式化的命题作为公理(它们是在语义上证明了的形式化陈述)。

他给出了条件的定义(第 1 章. §5.):

"设 A 和 B 指称可断定的内容，则有四种潜在的可能性:

(1)	A 被肯定了(assert), B 被肯定了;
(2)	A 被肯定了, B 被否定了;
(3)	A 被否定了, B 被肯定了;
(4)	A 被否定了, B 被否定了.

设标示(sign)第三种可能性是不能得到的，而只能是其他三种中的一个。所以如果我们否定就意味着第三种可能性是有效的，就是说我们否定了 A 并肯定了 B。"

[编辑] 弗雷格著作中的演算

弗雷格声明了九个重言式断定作为公理。他以语义方式证明了它们，并以语法上的演绎证明了其他重言式断定。

$\vdash \ \ A \rightarrow \left( B \rightarrow A \right)$
$\vdash \ \ \left[ \ A \rightarrow \left( B \rightarrow C \right) \ \right] \ \rightarrow \ \left[ \ \left( A \rightarrow B \right) \rightarrow \left( A \rightarrow C \right) \ \right]$
$\vdash \ \ \left[ \ D \rightarrow \left( B \rightarrow A \right) \ \right] \ \rightarrow \ \left[ \ B \rightarrow \left( D \rightarrow A \right) \ \right]$
$\vdash \ \ \left( B \rightarrow A \right) \ \rightarrow \ \left( \lnot A \rightarrow \lnot B \right)$
$\vdash \ \ \lnot \lnot A \rightarrow A$
$\vdash \ \ A \rightarrow \lnot \lnot A$
$\vdash \ \ \left( c=d \right) \rightarrow \left( f(c) = f(d) \right)$
$\vdash \ \ c = c$
$\vdash \ \ \left( \ \forall a : f(a) \ \right) \ \rightarrow \ f(c)$

弗雷格在第二章中历数了被形式化的命题；成为了他的公理的是第 1^st, 2^nd, 8^th, 28^th, 31^st, 41^st, 52^nd, 54^th, 58^th 个命题。

他在这章中还声明了两个推理规则: 它们是肯定前件; 和代换律。在第一章中他宣布了一个约定，即“普遍化律”。这意味着如果“自由变量”能在一个断定中找到，则把它当作全称量化的，依据弗雷格的定律，在 $\vdash$ 标号(“断定符号”)之后的，被固定的(fixed)变量是断定，而不是“开放”的公式，也就是谓词。

弗雷格在第二和第三章中在语法上证明了一百多个形式陈述。第三章("Parts from a general series theory")是对他在建造算术上做的工作的介绍。

[编辑] 对其他著作的影响

它的记号的某些痕迹幸存了: 被逻辑学家非正式的叫做“十字转门”(turnstile)的符号 $\vdash$ 演化自弗雷格的“Inhaltsstrich” ─ 和“Urteilsstrich” │。弗雷格在《Begriffsschrift》中以合一的形式 ├─ 使用这些符号来声明一个命题是(重言式)真的，而不是简单的宣布它。他使用 “Definitionsdoppelstrich” │├─ 作为表示一个命题是一个定义的符号。

在逻辑哲学论中，维特根斯坦通过使用术语“Begriffsschrift”作为逻辑形式主义的同义词来表达对弗雷格的敬意。

在弗雷格后来的著作《意义和引用》中，它放弃了在本书中关于同一性达成的某些结论(用数学上的 = 号来标记)。

[编辑] 一段引文

"如果哲学的任务是打破言辞在表达人类思想上的统治 [...], 那么我的概念记号，就是为这个目的而开发的，它能够成为哲学家的有用的工具 [...] 我认为，只是通过发明这些概念记号，逻辑的本质(matter)就已经被促进了(forward)。"

Begriffsschrift [前言]

[编辑] 引用

Gottlob Frege. Begriffsschrift: eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens. Halle, 1879.
Risto Vilkko, 1998. 'The reception of Frege's Begriffsschrift'. Historia Mathematica 25(4):412-422.