施瓦茨-克里斯托费尔映射
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在数学的複分析中，施瓦茨—克里斯托费尔(Schwarz-Christoffel)映射是複平面的变换，把上半平面共形地映射到一個多边形。施瓦茨—克里斯托费尔映射可用在位势论和其它应用，包括极小曲面和流体力学中。施—克映射有一个缺陷，它无法较好的处理不规则几何图形和有孔的情况，这个问题已被伦敦皇家学院应用数学教授Darren Crowdy解决。施—克映射的名字取自埃尔温·布鲁诺·克里斯托费尔和赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨。
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[编辑] 定义
考虑複平面上一個多边形。黎曼映射定理指出存在一个一一对应解析映射f从上半平面
到多边形的內部。函数f把实数轴映射到多边形的邊。若多边形内角为α,β,γ,...，那么映射由下式给出：
，
其中K是常数，a < b < c < ...是ζ平面的实轴上的点的值，对应z平面上的多边形的顶点。这形式的变换称为施瓦茨—克里斯托费尔映射。
为了简便，通常会考虑一种特殊情況，就是当ζ平面的无穷远点映射到z平面的多边形其中一顶点（习惯是内角为α的顶点）。如此，公式的第一个因式实际上是个常数，可以合併进K裡。
[编辑] 例子
考虑z平面中的半无穷带。这可以视作顶点是P = 0, Q = πi和R的三角形，当R趋向无穷大的极限情形。极限时有α = 0和β = γ = π / 2。假设我们要找映射f，有f(−1) = Q，f(1) = P，和f(∞) = R，那么f是
。
计算积分得到
其中C是个（複）积分常数。条件f( − 1) = Q和f(1) = P给出C = 0和K = 1。因此施瓦茨—克里斯托费尔积分是
。下图描绘这个映射。
从上半平面到半无穷带的施瓦茨—克里斯托费尔映射
[编辑] 其它简单映射
[编辑] 三角形
到内角为πa，πb和π(1 − a − b)的三角形的映射是
。
[编辑] 正方形
从上半平面到正方形的映射是
，
其中F是第一类不完全椭圆积分。
[编辑] 广义三角形
施瓦茨三角形映射把上半平面映射到其边是圆弧的三角形。
[编辑] 参看
- 在施瓦茨—克里斯托费尔理论中出现的施瓦茨导数。
[编辑] 参考
- Tobin A. Driscoll and Lloyd N. Trefethen, Schwarz-Christoffel Mapping, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0521807263.
- Z. Nehari, Conformal Mapping, (1952) McGraw-Hill, New York.
- Darren Crowdy，[1]Schwarz-Christoffel mappings to unbounded multiply connected polygonal regions，Math. Proc. Camb. Phil. Soc. (2007)，142, 319.
