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戴德金和 - Wikipedia

戴德金和

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戴德金和（Dedekind sum）是數學家戴德金在跟戴德金η函數有關的工作中提出的。

定義這個函數，首先要定義 $((x))$ ：若 $x$ 是整數， $((x)) = 0$ ，否則為 $x - [x] - 0.5$ ，其中 $[x]$ 是最大而又不大於 $x$ 的整數。

對於非零整數 $h, k$ ，戴德金和 $s (h, k)$ 定義為 $s(h,k) = \sum_{\mu = 0}^{k-1} ((\frac{\mu}{k})) ((\frac{h \mu}{k}))$

若 $h, k$ 互質且均大於0，有 $s(h,k) = \frac{1}{4k} \sum_{\mu=1}^{k-1} \cot\left(\frac{\pi h \mu}{k}\right ) \cot\left(\frac{\pi \mu}{k}\right)$

[编辑] 公式

有公因數時： $s (c h, c k) = s (h, k)$
Petersson-Knopp恆等式： $\sum_{d|n} \sum_{m=0}^{d-1} s\left(\frac{n}{d} h + mk, kd\right) = \sigma(n) s(h,k)$ ， $σ(n)$ 為因數函數，是 $n$ 的正因數之和。其中一個較易證明的特例為當 $p$ 為質數， $(p+1) s(h,k) = s(ph,k) + \sum^{p-1}_{m = 0} s(h+mk,pk)$
周期性： $s (n k + h, k) = s (h, k)$
若 $pq \equiv 1 \pmod{k}$ ， $s (p, k) = s (q, k)$ 。
$s(1,k) = \frac{(k-1)(k-2)}{12k}$
若 $k$ 為奇數， $s(2,k) = \frac{(k-1)(k-5)}{24k}$
對於 $k \equiv 1 \pmod{h}$ ， $12 h k s (h, k) = (k - 1)(k - (h 2 + 1))$
對於 $k \equiv 2 \pmod{h}$ ， $12 h k s (h, k) = (k - 2)(k - (h 2 + 1) / 2)$
對於 $k \equiv -1 \pmod{h}$ ， $12 h k s (h, k) = k 2 + (h 2 - 6 h + 2) k + (h 2 + 1)$
互反和：

$s(h,k)+s(k,h) = - \frac{1}{4} + \frac{1}{12} \left(\frac{h}{k}+\frac{1}{hk}+\frac{k}{h}\right)$

[编辑] 參考

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